Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464751 писал(а):

Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно.

Это может и понятно, но неверно. См. совет выше. Что до остальных непоняток, то математическое ожидание - это число такое.

[farewe11]

--mS-- в сообщении #464758 писал(а):

farewe11 в сообщении #464751 писал(а):

Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно.

Это может и понятно, но неверно.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. (Гмурман)
Что ж неверно-то??)

Цитата:

Что до остальных непоняток, то математическое ожидание - это число такое.

Ну да, так и есть. Математическое ожидание случайной величины - это я запросто посчитаю. А вот математическое ожидание математического ожидания - это не по зубам. А Вы загадками говорите. :)

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464840 писал(а):

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. (Гмурман)
Что ж неверно-то??)

У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?

farewe11 в сообщении #464840 писал(а):

Ну да, так и есть. Математическое ожидание случайной величины - это я запросто посчитаю. А вот математическое ожидание математического ожидания числа - это не по зубам. А Вы загадками говорите. :)

Исправление моё.
Я не говорю загадками. Предполагается, что человек, добравшийся до производящих функций, знает более простой материал. В частности, знает свойства математических ожиданий, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Вы почему-то хотите без этого обойтись.

[farewe11]

Цитата:

У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?

Вряд ли, конечно. Хотя про зависимость/независимость в условии ничего не сказано...

Цитата:

В частности, знает свойства математических ожиданий, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Вы почему-то хотите без этого обойтись.

Да нет, почему же. Свойства математического ожидания, дисперсии знаю уж, ковариации - изучаю сейчас.. Просто я не могу представить, что от меня хотят. Думаю пока...

-- Пн июл 04, 2011 00:28:40 --

Нарыл тут в книге такую формулу:

$$cov(\xi_1,\xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2) + M(\xi_1 \xi_2)$$

Очень удобно. И снова, как всегда, вопрос видоизменился до неузнаваемости: как найти $M(\xi_1 \xi_2)$, когда известны математические ожидания величин по отдельности?
Пока писал это, понял, что "ну и дурак же я". У меня же в задаче есть двойная производящая функция. Используя её, можно без труда найти $M(\xi_1,\xi_2)$.
Верно это?

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464878 писал(а):

Цитата:

У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?

Вряд ли, конечно. Хотя про зависимость/независимость в условии ничего не сказано...

Это был риторический вопрос... Если бы Вы знали свойства матожиданий (а с ними - производящих функций), то зависимость случайных величин была бы Вам очевидна исходя из самого вида двойной п.ф., которая не раскладывается в произведение одинарных.

farewe11 в сообщении #464878 писал(а):

Нарыл тут в книге такую формулу:

$$cov(\xi_1,\xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2) + M(\xi_1 \xi_2)$$

Очень удобно.

Нисколько не удобно, потому что эта формула неверна. Воспользуйтесь свойствами матожидания и закончите преобразования, которые Вы начали в формуле для ковариации.

farewe11 в сообщении #464878 писал(а):

У меня же в задаче есть двойная производящая функция. Используя её, можно без труда найти $M(\xi_1,\xi_2)$.
Верно это?

(Оффтоп)

Я, конечно, понимаю, что Вы то и дело опечатываетесь. Но то, что Вы своих опечаток не видите, есть очень тяжёлый симптом... Матожидание вектора есть вектор из матожиданий, и для его поиска не нужна двойная п.ф.

--mS-- в сообщении #464721 писал(а):

Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

-- Пн июл 04, 2011 03:49:08 --

И выбросьте уже Гмурмана, возьмите нормальный учебник.

[farewe11]

Тогда я продолжу преобразования для ковариации, вооружившись Феллером.
Прочитал свойства матожиданий, дисперсии, ковариаций, действительно, ковариация независимых величин равна нулю. Но ничего нового пока не обнаружил. Продолжим:

$$M(\xi_1\xi_2 - \xi_1\cdot M(\xi_2) - \xi_2\cdot M(\xi_1) + M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_2\cdot M(\xi_1)) - M(\xi_1\cdot M(\xi_2)) + M(M(\xi_1)\cdot M(\xi_2))$$

Это дело равно:

$$M(\xi_1\xi_2) - 2M(\xi_1)M(\xi_2) + M(\xi_1)M(\xi_2) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_1)M(\xi_2) $$

Это я использовал свойства: константу можно вынести, и матожидание константы равно самой константе.
Замечательно же получилось! Одна старая проблема решена, осталась вторая, более новая. Матожидание произведения. Подскажите хоть, используя что, можно вычислить эту величину... ?

-- Пн июл 04, 2011 01:22:41 --

(Оффтоп)

Как видите, стараюсь учиться на своих ошибках. Ничто не давалось мне настолько тяжело, как теорвер, всё-таки...

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464902 писал(а):

Замечательно же получилось! Одна старая проблема решена, осталась вторая, более новая. Матожидание произведения. Подскажите хоть, используя что, можно вычислить эту величину... ?

Хм...

--mS-- в сообщении #464887 писал(а):

--mS-- в сообщении #464721 писал(а):

Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

Меня слышно?

[farewe11]

Слышно, конечно. Надо использовать смешанные моменты для решения этой.. проблемки. Сейчас поднаберу информации из книги, и выдам, наконец (надеюсь), решение.

-- Пн июл 04, 2011 02:42:51 --

--mS-- в сообщении #464721 писал(а):

В чём состоит вопрос? Раскройте скобки и выразите ковариацию через смешанный момент и частные моменты. Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

Вы имели в виду раскрыть скобки именно так, как это я сделал? Или как-то по-другому? В своём способе просто я не вижу способа представить $M(\xi_1\xi_2)$ в виде момента..

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464925 писал(а):

Слышно, конечно. Надо использовать смешанные моменты для решения этой.. проблемки.
....
В своём способе просто я не вижу способа представить $M(\xi_1\xi_2)$ в виде момента..

Я уже боюсь самые простые слова употреблять... Это математическое ожидание и есть момент. Как и любое математическое ожидание. Называют все математические ожидания так. Причем это, в отличие от математических ожиданий одной случайной величины (частных) и есть смешанный момент.

Покажите, как Вы из производящей функции $\varphi(z) = \mathsf M z^{\xi_1}$ нашли $\mathsf M\xi_1$. Объясните, почему так. Потом скажите, как из $\varphi(z_1, z_2) = \mathsf M z_1^{\xi_1}z_2^{\xi_2}$ получить $\mathsf M\xi_1\xi_2$.

[farewe11]

Уже подумал и нашёл. Продифференциировал двойную п.ф. по $z_1$ и $z_2$, и подставил $1$ и $1$. Верное решение?
Кстати, при таком раскладе, я довел вычисления до конца, ковариация-таки получилась равной нулю..

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464935 писал(а):

Уже подумал и нашёл. Продифференциировал двойную п.ф. по $z_1$ и $z_2$, и подставил $1$ и $1$. Верное решение?

Решения пока не вижу. Судя по ответу (а ковариация тут не могла получиться нулевой), продифференцировали Вы неверно. На всякий случай, $(uv)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime$, знаете такую формулу? При дифференцировании по $z_2$ она неминуемо должна была понадобиться.

[farewe11]

То ли в Феллере, то ли в Кнуте запомнилась такая фраза, что и у зависимых величин может быть нулевая ковариация..
Но давайте проверим. Да уж знаю такую формулу :)
Дана $F_{\xi_1 \xi_2}(z) = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}$
Дифференциируем по $z_1$:

$$ dF_{\xi_1 \xi_2}(z) / dz_1 = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1+p_3) $$

Теперь по $z_2$.. Черт. Формулы производной от произведения что-то не видать тут, а значит, что-то я неправильно делаю?

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464943 писал(а):

То ли в Феллере, то ли в Кнуте запомнилась такая фраза, что и у зависимых величин может быть нулевая ковариация..

Может. Но не у этих. Нулевая ковариация зависимых величин обычно всего возникает как результат какой-то симметрии распределений - как какого-то из частных, так и совместного. Здесь все распределения - это распределения чисто положительных (пуассоновских) величин, причём неограниченных справа (но ограниченных слева), поэтому добиться нулевой ковариации IMHO невозможно, если не сделать их независимыми.

farewe11 в сообщении #464943 писал(а):

Дифференциируем по $z_1$:

$$ dF_{\xi_1 \xi_2}(z) / dz_1 = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1+p_3) $$

Неправильно продифференцировали... См. множитель при $p_3$. Куда $z_2$ делось?

Ох, батенька

[farewe11]

Да, и вправду. Все-таки 17 часов за компьютером без перерывов даром не прошли.
Тогда производная по $z_1$ будет равняться такому вот:

$$e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1 + p_3z_2)$$

А если еще и попытаться по $z_2$ продифференциировать, то будет следующее:

$$\lambda e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}\cdot (p_1 + p_3z_2)(p_2 + p_3z_1) + \lambda e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot p_3$$

Осталось подставить единицы вместо всех буковок $z$...

$$\lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3$$

Это значение $M(\xi_1 \xi_2)$.
Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

-- Пн июл 04, 2011 08:35:24 --

(Оффтоп)

Огромное спасибо, за проявленное терпение. Я бы так не смог, наверно.. :)Побежал в универ, будь что будет.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464949 писал(а):

Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

-- Пн июл 04, 2011 08:35:24 --

(Оффтоп)

Огромное спасибо, за проявленное терпение. Я бы так не смог, наверно.. :)Побежал в универ, будь что будет.

Стойте!!! Матожидания вычислили неверно, куда дели лямбды?