Какова обратная функция длины кривой произвольной функции?

[Nikolay1985]

По известной формуле для плоской кривой можно легко найти её длину:

$L=\int\sqrt{1+(\frac{df(x)}{dx})^2}dx$.

Проблема состоит в том, чтобы отыскать обратную функцию, т. е. $f(x)$, зная параметрическую запись для L.
Пытался решить, у меня выходит вот что

$f(x)=\int\sqrt{(\frac{dL(x)}{dx})^2-1}dx$. Нижний предел интеграла равен 0, верхний x.

Если честно, я запутался. Если кто-то может помочь или объяснить, пожалуйста, очень прошу!
1) Как быть с мерой длины L кривой, если оси в декартовой системе координат имеют разные размерные единицы? (Может надо сделать нормировку или добавить весовые коэффициенты?)
2) Удовлетворяет ли обратная формула (если в принципе таковая существует) условию однозначности (единственности) решения? Я имею в виду, имеет ли обратная формула смысл, если на одном и том же промежутке измерения кривые совершенно разных функций могут быть одной длины?
В математике я дилетант, но решение этой проблемы для меня очень важно. Так что заранее извините меня, если есть какие-то неточности.
Заранее благодарен.

[ИСН]

1) Никак не быть. Если разные - то не может быть и речи о длине.
2) С этим интересно. Перед корнем ведь можно поставить "+", а можно "-". Причём можно их менять в процессе...

[Nikolay1985]

Про меру я хочу узнать потому, что мне интересно: можно ли увязать как-то параметры длины кривой с другими характеристиками функции, напрмер, с её мощностью, спектром и т. д. (Для справки: я интересуюсь радиотехникой и спектральным анализом сигналов. Представьте себе, что на экране у вас осцилограмма сигнала. Вопрос заключается в следующем: можно ли только лишь по длине кривой этого сигнала (аппаратно её измерить очень просто) выяснить информацию о других его параметрах, например, спектре. Кстати, проблемка интересная, так как, я думаю, что она косвенно касается фрактального анализа, в т. ч. определения Хаусдорфовой размерности). А для того, чтобы увязать это всё мне сначала надо решить именно поставленную задачу...

[Алексей К.]

Давайте точнее выражаться. Под "кривой произвольной функции" понимается, как видно из сообщения, график произвольной функции $y=f(x)$, $a\le x\le b$. Вы правильно записали формулу, я лишь уточню:

$$L(x)=\int\limits_a^x f(x)\,dx,\quad \text{или, чуть грамотнее,}\quad L(x)=\int\limits_a^x f(t)\,dt .$$

Вы хотите аналогичную формулу, сразу дающую $x(l)$? Вряд ли это у нас получится.

Надо явно получать $l(x)$ и пытаться выразить обратную функцию. Что в большинстве случаев сделать в явном виде невозможно.

-- 03 июл 2011, 13:13 --

Пока писал, ответили уже. Добавлю по п. 1), в ту же дудку, что и ИСН. Если разные размерности, то это не длина, а хрен знает что... В нормально поставленной задаче такого просто не должно возникать. Я ещё не прочитал толком про радиотехническую подоплёку задачи (мне эта тема малость чужда), но, думаю, Вы просто зря обратились к длине такого графика. Надо додумать или передумать.

[Nikolay1985]

Спасибо Вам за информацию.
Интересно, какими ещё способами можно попытаться выразить функцию через длину её кривой?

[alcoholist]

Nikolay1985 в сообщении #464624 писал(а):

Я имею в виду, имеет ли обратная формула смысл, если на одном и том же промежутке измерения кривые совершенно разных функций могут быть одной длины?

Коллега ИСН подсказал Вам: дифференцируемых функций, определенных на $[a,b]$, дающих данную функцию длины всего $2^{k+1}$ штук (при фиксированном $f(a)$), где $k$--число экстремумов внутри $[a,b]$, т.е. число точек, где $L'=1$.

[Алексей К.]

Думаю, "ещё способов" нет: каждый придуманный "ещё способ" будет вариацией или тавтологией упомянутого тупого способа.

Но поймите главное. Допустим, у нас по осям не сигнал-время, а пиксель-пиксель, или длина-длина, и речь идёт действительно о кривой, размерности одинаковы, длина как-то осмыслена, из $y=f(x)$ получено какое-то $l(x)$. Тогда, покрутив ручку осциллографа, мы получим кривую $y=af(x)$. Её длина НЕ будет выражаться как $al(x)$, а будет чем-то вроде $L(x,a)$, где $L$ — какая-то новая функция, совершенно муторная, дающая свой (бестолковый) вклад-искажение в те самые спектры, мощности, в которых я мало что понимаю.

-- 03 июл 2011, 13:46 --

Речь ещё о том, что у двух разных кривых, красной и синей, функции $L(x)$ совершенно одинаковы: ${\color{magenta}L}(x)\equiv{\color{blue}L}(x)$.

$$\begin{picture}(200,100) \put(0,0){\vector(1,0){200}} \put(0,0){\vector(0,1){100}} \color{blue}\qbezier(4,1)(20,51)(100,51)\qbezier(100,51)(200,51)(200,1) \color{magenta}\qbezier(4,5)(20,55)(100,55)\qbezier(100,55)(200,55)(200,105) \end{picture}$$

[Nikolay1985]

>>"Речь ещё о том, что у двух разных кривых, красной и синей, функции"

Да, кстати, это тоже аргумент. Согласен.