Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения

[farewe11]

Добрый день. Стоит передо мной задача: из производящей функции совместного распределения двух величин $\xi_1, \xi_2$ нужно найти распределения этих величин. Потом найти мат. ожидания этих же величин. Функция выглядит вот так:

$$ F_{\xi_1,\xi_2}(z) = e^{\lambda\cdot(p_1z_1+p_2z_2+p_3z_2z_1-1)} $$

Где $p_1+p_2+p_3 = 1, p_i >0$.
Если этот вопрос прост, что называется, "на уровне определения" - прошу меня извинить, сейчас у меня имеется доступ только к Интернету вместо книг, а оттуда ничего толкового, подходящего я не выудил. В таком случае слёзно прошу написать определение. )

[Vince Diesel]

В интернете есть книга Грехэм, Кнут, Поташник "Конкретная математика". В восьмой главе содержатся определения и всякме формулы для случая одномерной случайной величины. Если вы знакомы с определениями характеристик двухмерных случайных величин, то можно сообразить по аналогии, что означает производящая функция двух с.в. и как получить производящие функции отдельно для $\xi_1$ и $\xi_2$. А матожидание находится затем по формуле, которая там есть.

[farewe11]

Да, спасибо, в книге это есть.
Тогда проблема кроется в другом: какие ещё свойства совместного распределения величин нужно знать, чтобы решить задачу?
Вообще это моя главная проблема в теорвере: я не понимаю, в чём разница, например, между двумерным распределением и совместным распределением величин?

-- Пт июл 01, 2011 01:41:33 --

И подходит ли условие этой задачи под определение "сумма двух случайных величин"?
Просто нашел формулу для производящей функции суммы независимых случайных величин.

[farewe11]

Вернее, вопрос нужно уточнить. Как из производящей функции совместного распределения величин $\xi_1$ и $\xi_2$ получить функцию совместного распределения этих величин?
То есть из $F_{\xi_1 \xi_2}(z) = e^{\lambda\cdot(p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}$ получить функцию их совместного распределения?

[farewe11]

Все, разобрался (не без вашей помощи;) )
Решение выглядит так: чтобы найти производящие функции величин $\xi_1$ и $\xi_2$ отдельно, используя производящую функцию их совместного распределения $F_{\xi_1\xi_2}(z_1, z_2)$, сделаем так:

$$F_{\xi_1}(z) = F_{\xi_1\xi_2}(z_1, 1)$$

$$F_{\xi_2}(z) = F_{\xi_1\xi_2}(1, z_2)$$

Это сообщение для будущих поколений :)

P.S. Правильно, надеюсь??

[--mS--]

Очевидно правильно, просто по определению. Только бы ещё запятые между $\xi_1$ и $\xi_2$ поставить: $F_{\xi_1,\,\xi_2}(\ldots)$.

А распределения-то $\xi_1$ и $\xi_2$ нашлись?

[farewe11]

Производящей функции недостаточно для "задания распределения"? В таком случае нужно выразить функции распределения из производящих функций каждой величины, ну или плотности выразить.. Не знаю, как это сделать, но думаю, что информацию найду уж. Вопрос только - нужно ли это делать? П.ф. ведь однозначно задает распределение.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #463872 писал(а):

Очевидно правильно, просто по определению.

Вроде ж по определению производящая функция моментов случайного вектора $ (\xi_1,\xi_2)$ равна $\phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1,z_2) = \mathbf{E}e^{z_1 \xi_1 + z_2 \xi_2}$. Поэтому должно быть $\phi_{\xi_1}(z_1) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1, 0)$. Разве нет?

farewe11 в сообщении #463967 писал(а):

Производящей функции недостаточно для "задания распределения"?

Если производящая функция моментов определена для всех $z = i t, t\in\mathbb{R}$, то точно достаточно, ибо задает характеристическую функцию: $\varphi_{\xi_1,\xi_2}(t_1,t_2) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(i t_1,i t_2) $, а та, в свою очередь однозначно задает распределение.

Или всюду речь о производящей функции дискретного распределения? Если последнее, то тогда найти распределение не проблема - разложите в степенной ряд - коэффициенты и будут значениями вероятностей (см. определение производящей функции дискретного распределения).

[AKM]

farewe11

не надо дублировать темы!

[--mS--]

_hum_ в сообщении #464002 писал(а):

Вроде ж по определению производящая функция моментов случайного вектора $ (\xi_1,\xi_2)$ равна $\phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1,z_2) = \mathbf{E}e^{z_1 \xi_1 + z_2 \xi_2}$. Поэтому должно быть $\phi_{\xi_1}(z_1) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1, 0)$. Разве нет?

П.ф.м. тут ни при чём. Производящая функция есть $\mathsf Ez^\xi$, для пары с.в., соответственно, $\mathsf Ez_1^{\xi_1}z_2^{\xi_2}$.

-- Пт июл 01, 2011 22:20:50 --

farewe11 в сообщении #463967 писал(а):

Производящей функции недостаточно для "задания распределения"?

Тому, кто может найти распределение по п.ф. - достаточно.

[farewe11]

Кстати, встала проблема одна. Используя найденную производящую функцию, я нахожу матожидание, дисперсию (того требует задача), теперь надо найти $cov(\xi_1,\xi_1)$.Вот и не знаю, как это сделать. $M((\xi_1-M(\xi_1))(\xi_2-M(\xi_2)))$ хотел бы применить, но столкнулся с проблемой: что имеется в виду под $\xi_1-M(\xi_1)$? Из чего-чего нужно вычесть матожидание $\xi_1$?

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464708 писал(а):

Из чего-чего нужно вычесть матожидание $\xi_1$?

Из $\xi_1$, разумеется. В чём состоит вопрос? Раскройте скобки и выразите ковариацию через смешанный момент и частные моменты. Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

[farewe11]

Раскрыть скобки? Вот что выйдет:

$$M(\xi_1\xi_2 - \xi_1\cdot M(\xi_2) - \xi_2\cdot M(\xi_1) + M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_2\cdot M(\xi_1)) - M(\xi_1\cdot M(\xi_2)) + M(M(\xi_1)\cdot M(\xi_2))$$

Так.. Что-то совсем неясное получилось. Не могу понять, что делать.

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464731 писал(а):

Не могу понять, что делать.

Попробуйте изучить свойства математического ожидания. В любом учебнике.

[farewe11]

Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно. А вот матожидание матожидания - что-то новенькое.. Ни в Гмурмане, ни в Кнуте этого не нашел. Единственный вариант - что так раскрывать скобки, как делал я - не нужно... Тогда вернемся к началу, распишем матожидание произведения как произведение матожиданий:

$$M(\xi_1 - M(\xi_1)) \cdot M(\xi_2 - M(\xi_2))$$

Всё одно - неясно. Что я упускаю? )