Вычисления интеграла

[myra_panama]

Let $w_i $and $x_i$ be such that the following formula is exact for all polynomials of degree less than or equal to 2n-1,
$\int\limits_{-1}^1f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{i=1}^nw_if(x_i).$
Show that:

1) $ \displaystyle\sum_{i=1}^nw_i=2,$

2) $\displaystyle\int\limits_{-1}^1L_i(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1(L_i(x))^2\,\mathrm{d}x$,
where
$\displaystyle L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\ j\ne i}}^n\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$.

(Оффтоп)

1) ну сделал замену $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$
2)

[ИСН]

"exact", соседствующий с "$\approx$", разрушил мой моск. Дальше не читал.

[Руст]

Все очевидно и так.
1) Берите $f(x)\equiv 1$
2) Оба многочлена имеют степень меньше 2n, т.е. приближенные формулы точны. Последние для обеих дают значение $w_i$, так как $L_i(x_i)=1,L_i(x_j)=0,j\not =i.$

[ewert]

myra_panama в сообщении #463725 писал(а):

$\int\limits_{-1}^1f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{i=1}^nw_if(x_i).$
Show that:

1) $ \displaystyle\sum_{i=1}^nw_i=2,$

Дальше не смотрел, ибо бессмысленно. Эта формулировка откровенно безыдейна: требование вытекает из самого смысла формулы как квадратурной (который, между прочим, сформулирован не был) -- а сдругой стороны, полиномиалы энной степени тут и уж вовсе не при чём.

Вывод: товарищи пытались сформулировать некоторые ключевые понятия, связанные с численным интегрированием, не имея ни малейшего представления об идейной стороне вопроса. Так, пальчиками по пипочкам просто били.

[myra_panama]

ewert в сообщении #463773 писал(а):

Дальше не смотрел, ибо бессмысленно. Эта формулировка откровенно безыдейна: требование вытекает из самого смысла формулы как квадратурной (который, между прочим, сформулирован не был)

НУ тик-так.... вы все обхитрили (извиняюсь)
Если 'Честно' с начало условия задачи было это:
Let $f\in C^4[a,b] , F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt$ , for $x\in [a,b] , h=\frac{b-a}{n} , x_i=a+ih , i=0,1,2,...,n, n\ge 2.$ Explain how one can estimate values of $F(x_i) , i=1,2,3,...,n$ , with errors of order $h^4 , O(h^4)$ , using only values of $f(x_i) , i=1,2,...,n$ and suitable quadrature rules.

вот а потом все 1) и 2) .... Надеюсь поняли ....

[myra_panama]

ewert что вы скажите теперь .... или условия задачи безЫдейная?

[ewert]

myra_panama в сообщении #463986 писал(а):

или условия задачи безЫдейная?

Нет, на этот раз формулировка вполне разумна. Разумеется, по Симпсону, но это только для чётных индексов. А для нечётных последние три шага придётся просчитывать по "правилу трёх восьмых".

Только эта задача никакого отношения к "потом все 1) и 2)" не имеет. Пункт 1) так и останется нелепым на все времена. Пункт 2) -- достаточно содержателен, но я до него просто не дочитал, настолько меня обидел 1).

-- Пт июл 01, 2011 17:24:33 --

Впрочем, можно чуть-чуть сократить вычисления, использовав (в нечётном случае) для последних трёх участков формулу Ньютона-Котеса полуоткрытого типа:

$\int\limits_{x_{i-3}}^{x_i}f(x)\,dx\approx\frac{3h}{4}(3f_{i-2}+f_i).$

Но это непринципиальное ускорение, а точность пусть и незначительно, но ухудшится. Пусть лучше останется "три восьмых".

А хотя как сказать: если заполнять таблицу значений интеграла со скоростью $O(n)$, то правило трёх восьмых замедлит работу процентов на тридцать, наверное...