Задача на динамику про движение точки по окружности

[Oleg Zubelevich]

Пример еще одного курьеза связанного с силой трения. Если в этой задаче считать, что точка находится под действием сухого трения. Сила сухого трения зависит от реакции со стороны обруча, а та, в свою очередь, от ускорения точки. Итого: сила зависит от ускорения.

[Alfucio]

Насколько я понимаю, по условиям задачи неизвестно, как точка себя поведет после точки B (если рассматривать точку B так, как показано на рисунке). Очевидно, есть несколько вариантов (или начнет падать вниз; или побежит дальше по окружности (например, если она в торе, как предложил Утундрий).

Я показал данную задачу и мое решение преподавателю, он сказал, что дифференциальное уравнение верное, но сила реакции опоры, как я и предполагал, найдена неправильно.

Он предложил использовать систему дифференциальных уравнений движения материальной точки, если рассматривать ее движение в естественной системе координат:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m\frac{{V_\tau ^2}}{\rho } = {F_n}}\\ {m\frac{{d{V_\tau }}}{{dt}} = {F_\tau }}\\ {0 = {F_b}} \end{array}} \right.$$

В нашем случае:

$$\[\begin{array}{l} \dot x = R\dot \varphi \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m\frac{{{R^2}{{\dot \varphi }^2}}}{R} = \cos \varphi P - N}\\ {mR\ddot \varphi = \sin \varphi P - {F_0}}\\ {0 = 0} \end{array}} \right. \end{array}\]$$

Получается следующая система:

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {mR{{\dot \varphi }^2} = \cos \varphi P - N}\\ {mR\ddot \varphi = \sin \varphi P - {F_0}} \end{array}} \right.\]$$

Из второго уравнения получается дифференциальное уравнение, которые описывает движение:
$\[{mR\ddot \varphi = \sin \varphi P - F}\]$,
такое же, как и в прошлый раз, когда я решал через уравнение Лагранжа II рода.

Из первого же уравнения можно выразить реакцию:
$\[{N = \cos \varphi P - mR{{\dot \varphi }^2}}\]$

Можно ли так рассуждать? Верно ли, что в системе я просто взял второе уравнение и говорю, что оно и описывает движение? Верно ли найдена реакция и можно ли ее найти более верно точно (мне кажется, что нет, если только не решить дифференциальное уравнение через «непростые» функции и потом просто подставить $\[\dot \varphi \]$)?