Доказать , что расходится

[myra_panama]

Пусть $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ строго убывающая непрерывная функция такая, что $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$. Доказать , что $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ расходится .

[myra_panama]

Hello ! is there anyone ? Please help!
Ну как то так можно:

(Оффтоп)

$\[ \begin{aligned}\int_{0}^\infty\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx&=\int_{0}^{1}\left[\sum_{k\ge 0}\frac{f(t+k)-f(t+k+1)}{f(t+k)}\right]\,dt\\ &=\int_{0}^{1}\infty dt=\infty\end{aligned} \]$

[Руст]

а где расходимость ряда?
Подсказка введите числа $x_n: f(x_n)=2^{-n}$ и суммируйте $\sum_n \int_{x_n}^{x_{n+1}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}dx.$

[ewert]

Если $\frac{f(x+1)}{f(x)}\to0$ на бесконечности, то расходимость тривиальна. Если же стремления к нулю нет, то и $\frac{1}{f(m)}\int\limits_m^{m+1}f(x)\,dx$ не стремится к нулю при $m\to+\infty$. Но тогда и $\int\limits_m^n\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx>\frac{1}{f(m)}\left(\int\limits_m^{m+1}f(x)\,dx-\int\limits_n^{n+1}f(x)\,dx\right)$ не стремится к нулю при $m,n\to+\infty$, поскольку вычитаемый интеграл при $n\to+\infty$ и фиксированном $m$ к нулю всё-таки стремится.

[ewert]

Да, добивка. Условия задачки как-то явно избыточны: и непрерывность совсем не нужна, и монотонность вовсе не обязательно должна быть строгой.

[feliks]

По формуле тейлора имеем f(x+1)=f(x)+f1(x)....
Я вывел на MathType напишите мне на почту
[e-mail] Я вышлю короткое решение

[ewert]

feliks в сообщении #463274 писал(а):

Я вывел на MathType

Ещё на санскрите можно.