Разложить в ряд Фурье по синусам

[Gardataxe]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста как разложить в ряд Фурье по синусам. Условие задачи:

$$\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 2x\;\;\;0 < x < 2 \hfill \\ x - 1\;\;\;2 < x \leqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Формулы для нахождения ряда Фурье по синусам:

$$\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{l}} \]$$

$${b_n} = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{l}dx} $$

Смущает то, что в моем задании составная функция, и я не знаю чему равны $l$ и $-l$.

[Tlalok]

Вы знаете как ряд Фурье выглядит в общем виде? Для каких функций (четных или нечетных или может общего вида) справедлива Ваша формула?

[ИСН]

Gardataxe в сообщении #443349 писал(а):

и я не знаю чему равны $l$ и $-l$.

Дак идите узнайте. Это часть условия. Без неё никак, от слова "совсем". Всё равно как спросить "коробок спичек стоит 1 рубль, сколько коробков может купить Вася", и всё.

[Gardataxe]

ИСН в сообщении #443355 писал(а):

Дак идите узнайте. Это часть условия.

Три дня выходных, спросить некого, сессия близко. Все, что было в условии задачи, я уже написал.

[ИСН]

Ну и сколько коробков может купить Вася?

[gris]

В таких задачах предполагается, что функция будет продолжена до периодической минимальнейшим способом с учётом наметнутой чётности/нечётности. И что $l$ можно неким образом вынуть из условия. Что касается кусочно-линейности функции, так это не беда. Определённый интеграл можно разбить на два и посчитать каждый отдельно, а потом сложить.

[Sonic86]

$l$ - это полупериод функции в данном случае, об этом можно прочитать в любой главе с названием типа "Разложение в ряд Фурье функции на произвольном отрезке".

[Gardataxe]

Так правильно ? $l$ я принял равным полупериоду $l=1.5$. Не знаю, насколько все правильно получилось...

$$\[\begin{gathered} {b_n} = \frac{2}{1.5}\left( {\int\limits_0^2 {2x\sin \frac{{n\pi x}}{1.5}dx + \int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)\sin \frac{{n\pi x}}{1.5}dx} } } \right) \hfill \\ f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\sin \frac{{n\pi x}}{l}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

[Sonic86]

Gardataxe писал(а):

$l$ я принял равным полупериоду $l=1.5$.

Неправильно. Вы в книжку смотрели или нет? В общем случае функция раскладывается на отрезке $[-l;l]$ и тогда в интегралы в формулах для коэффициентов берутся по отрезку $[-l;l]$ и нормируются по его длине. В частных случаях отрезок имеет вид $[0;l]$ и тогда функция доопределяется четным или нечетным образом, а формулы коэффициентов приобретают вид как у Вас.

[Gardataxe]

Если заменить 1.5 на 3, то будет правильно ? Sonic86, такой главы в учебнике не нашел.

[Sonic86]

Странно. Вот у меня от бедности Письменный Конспект лекций по высшей математике, я там все это вычитал.
Блин, ну конечно $l=3$.

[arseniiv]

Gardataxe, предлагаю вам нарисовать график функции, которая уже продолжена как следует (по нечётности, а затем по периодичности).

[Gardataxe]

Спасибо. Я разобрался, в правильности решения не уверен. Хотелось бы выложить решение в виде отсканированного файла. Но правилами форума такое запрещается.

[ewert]

RusBear в сообщении #463089 писал(а):

У меня ответ какой то страшный и длинный=)))

Он и должен получиться страшным и длинным, поскольку и функция разрывна, и положение точки разрыва "неудобное". Но я бы сказал о другом (раз уж тему подняли на поверхность). Тут постоянно все зачем-то твердили о каких-то там доопределениях по чётностям/нечётностям. Которые никому в данной конкретной задачке не нужны: в стартовом посте исчерпывающе изложены и постановка задачи, и рабочие формулы для её решения. И надо всего лишь тупо ими воспользоваться. А какими доопределениями те формулы получены -- никого в данном случае интересовать не должно.