интересный ряд

[ecartman]

Добрый день! В одной задаче возник следующий ряд:

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{(\rho,\rho)_k}{k!} x^k, $$

где $\rho\in(0,1)$ и

$$ (\rho,\rho)_k=\prod_{j=0}^{k-1} (1-\rho^j),\;\; k\ge1 $$

это т.н. q-Pochhammer symbol, см: http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol

Может кто-нибудь уже сталкивался с рядами такого вида и поможет этот ряд опознать?
Я подозреваю, что это какая-то из специальных функций, но пока не могу установить какая именно.

Всем спасибо!

[Gortaur]

Если у Вас там и правда $j=0,1,...$ то все произведения равны нулю - и сумма тоже. Если от единицы - то математика говорит, что это ряд по Похаммеровским числам (т.е. она не узнает).

[ecartman]

Gortaur в сообщении #462618 писал(а):

Если у Вас там и правда $j=0,1,...$ то все произведения равны нулю - и сумма тоже. Если от единицы - то математика говорит, что это ряд по Похаммеровским числам (т.е. она не узнает).

Виноват, правильно так: $(\rho,\rho)_k=\prod_{j=1}^k (1-\rho^j)$, $k\ge1$.

[Gortaur]

ecartman
Словом, Математика не знает - так что у меня надежды мало. Решением дифура этот ряд тоже не представишь сходу, посмотрим что другие участники скажут.

[Vince Diesel]

Есть так называемые q-ряды, где как раз встречаются скобки такого вида ($q$ вместо $\rho$). Есть определение q-экспоненты, аналог гипергеометрической функции и т.п. Только в знаменателях там тоже символы Похгаммера. Можно посмотреть в книге Гаспер, Рахман, "Базисные гипергеометрические ряды".

[ecartman]

Gortaur

Этот ряд решает (с точностью до аддитивной постоянной) следующее дифф. уравнение: $y'(x)=y(x)-\rho y(\rho x)+1-\rho$. Хотелось бы надеяться, что это можно как-то использовать.

Vince Diesel

Спасибо за книгу, обязательно посмотрю!