Metric space , compact set

[myra_panama]

Let
$C(\Delta)$ be the set of all continuous complex valued functions on the closed unit disc $\Delta=\{z\in\mathbb{C}:\lvert z\rvert\le1\}.$
Let d be the uniform metric on $C(\Delta)$ defined by
$d(f,g)=\lVert f-g\rVert_{\infty}=\sup\limits_{z\in\Delta}\lvert f(z)-g(z)\rvert \quad (f,g\in C(\Delta)).$
If
$A=\{f\in C(\Delta):\ f(0)=0\text{ and }\lvert f(z)-f(w)\rvert\le\lvert z-w\rvert^{1/2},\text{ for }z,w\in\Delta\},$
show that A is compact in $C(\Delta)$

[mihailm]

(Оффтоп)

Может в начале в тему помогите перевести, а уж потом сюда запостите?

[myra_panama]

mihailm Okay.
Пусть $C(\Delta)$-множество всех непрерывных комплекснозначных функций на замкнутом единичном круге $\Delta=\{z\in\mathbb{C}:\lvert z\rvert\le1\}.$
Пусть d равномерная метрика на $C(\Delta)$ , которая определяется следующим образом
$d(f,g)=\lVert f-g\rVert_{\infty}=\sup\limits_{z\in\Delta}\lvert f(z)-g(z)\rvert \quad (f,g\in C(\Delta)).$
Если $A=\{f\in C(\Delta):\ f(0)=0\text{ и }\lvert f(z)-f(w)\rvert\le\lvert z-w\rvert^{1/2},\text{ для }z,w\in\Delta\},$
Покажите,что A компактно на $C(\Delta)$.

(Оффтоп)

Может что то не то с переводом , но старался ...

[mihailm]

Подумал и понял что это очевидно)))
из теоремы Арцела

[myra_panama]

mihailm в сообщении #462377 писал(а):

Подумал и понял что это очевидно)))
из теоремы Арцела

ну, я новичок по теор функ.ан , но из вашего цитату я нашел вот ,что:
Теорема.

Функциональное семейство F является предкомпактным в полном метрическом пространстве $C[a,b]$ тогда и только тогда, когда это семейство является

* равномерно ограниченным и
* равностепенно непрерывным

[mihailm]

Посмотрите какую нить обобщенную теорему Арцела и определения равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности

[myra_panama]

mihailm в сообщении #462462 писал(а):

Посмотрите какую нить обобщенную теорему Арцела и определения равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности

нашел из викепедии
Рассмотрим пространство$ C[a,b]$ непрерывных функций, заданных на отрезке$ [a,b],$ вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

* Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространство $C[a,b]$, однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что F — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b].
Равномерная ограниченность

Семейство F называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная K, которой ограничены все функции семейства:

$\forall f\in F\quad\forall x\in[a,b]\quad |f(x)|<K.$

Равностепенная непрерывность

Семейство F называется равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon>0$ существует δ > 0 такая, что для всякого элемента $f\in F$ и для любых точек x1 и x2 таких, что | x1 − x2 | < δ, выполняется строгое неравенство $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.$

[mihailm]

сойдет, можно дальше решать

[myra_panama]

mihailm в сообщении #462472 писал(а):

сойдет, можно дальше решать

Ну типа стараюсь , не получается , типа по викепедую еще раз не
хоршо.... с начало ... из теорему Арцелла шо можно вытекать (или использовать), и еще в задаче говоритсЯ об комплекснозначных функции ... у меня как то лень.... (ну типа начинал теор функан..)