Несколько задач по аналитической геометрии и мои соображения

[Lister]

Доброе время суток. Хотелось бы попросить помощи в решении нескольких задач по аналитической геометрии. Представляя, с чего необходимо начать, почему-то не могу довести решение до конца. Задачи привожу без численных показателей; заранее спасибо - буду благодарен за любую помощь.
1) Даны координаты одной из вершин квадрата и уравнение одной из диагоналей квадрата, не проходящей через эту вершину (прямая, на которой лежит диагональ, задана как система пересечения 2ух плоскостей). Найти остальные вершины квадрата.
:: Насколько я понимаю, сначала мы находим ту вершину квадрата, которая симметрична данной в условии вершине относительно данной диагонали, затем находим середину отрезка - получим точку пересечения диагоналей. Находим длину этого отрезка. Дальше почему-то ничего в голову не приходит.

2) В пирамиде заданы координаты всех 4ех вершин (пусть будет A,B,C,D). Найти координаты основания высоты, опущенной из данной вершины (например, из т. D).
:: Насколько я понимаю, здесь решение сводится к нахождению уравнения плоскости АBC и последующему построению высоты как прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной найденной плоскости. А затем необходимо найти точку, лежащую в плоскости АBC и принадлежащую найденной прямой. Я прав ?

3) В правильном тетраэдре заданы канонические уравнения 2ух скрещивающихся ребер. Найти объем тетраэдра.
:: Даже не знаю, честно говоря, с чего начать.

Еще раз спасибо ! Ваша помощь очень важна для меня. С уважением, Lister.

[photon]

Lister писал(а):

Дальше почему-то ничего в голову не приходит.

Потом, например, находим уравнение прямой, перпендикулярной этой диагонали и проходящей через центр, и на ней, зная длину диагонали, находим искомые точки

[RIP]

photon писал(а):

Lister писал(а):

Дальше почему-то ничего в голову не приходит.

Потом, например, находим уравнение прямой, перпендикулярной этой диагонали и проходящей через центр, и на ней, зная длину диагонали, находим искомые точки

Эта прямая уже задана, ее не надо находить

Добавлено спустя 44 секунды:

2) Все верно. В чем трудности?

Добавлено спустя 2 минуты 15 секунд:

1) Удобно переписать уравнение прямой параметрически. Тогда нахождение остальных вершин не должно вызвать затруднений.

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

3) Знаете, как находить расстояние между скрещивающимися прямыми. Найдя это расстояние, сможете найти объем тетраэдра?

[photon]

RIP писал(а):

Эта прямая уже задана, ее не надо находить

Ах, да. Значит найти его в условии

[Lister]

Спасибо за помощь

[Lister]

Хотелось бы попросить помощи в решении следующих задач:
1) Провести через заданную точку А прямую (обозначим искомую прямую B), пересекающую прямую C под углом D (прямая С задана канонически).
:: К сожалению, единственная известная мне формула, содержащая углы между прямыми - это формула, содержащая направляющие векторы обеих прямых. Даже не представляю, как здесь ее применить.
2) составить уравнение плоскости, делящей пополам острый двугранный угол между плоскостями
x=0 и
3x-4y+6z-2=0.
:: В книге "Аналитическая геометрия" (авторы Ильин, Поздняк) рассматривается тип задач : "Нахождение биссектральных плоскостей угла, образованного двумя данными плоскостями". Однако там Уравнения искомых биссектральных плоскостей выражаются через косинусы каких-то введенных углов. Очевидно, здесь данный вариант здесь не подходит. Прошу подсказать ход решения.

Спасибо большое !

[Brukvalub]

Lister писал(а):

Хотелось бы попросить помощи в решении следующих задач:
1) Провести через заданную точку А прямую (обозначим искомую прямую B), пересекающую прямую C под углом D (прямая С задана канонически).
:: К сожалению, единственная известная мне формула, содержащая углы между прямыми - это формула, содержащая направляющие векторы обеих прямых. Даже не представляю, как здесь ее применить.
2) составить уравнение плоскости, делящей пополам острый двугранный угол между плоскостями
x=0 и
3x-4y+6z-2=0.
:: В книге "Аналитическая геометрия" (авторы Ильин, Поздняк) рассматривается тип задач : "Нахождение биссектральных плоскостей угла, образованного двумя данными плоскостями". Однако там Уравнения искомых биссектральных плоскостей выражаются через косинусы каких-то введенных углов. Очевидно, здесь данный вариант здесь не подходит. Прошу подсказать ход решения.

Спасибо большое !

Про первую задачу: найдите направляющий вектор р заданной канонически прямой С, затем найдите все векторы, составляющие с вектором р требуемый угол - один из них и будет направляющим вектором нужной прямой, ну а компланарность направляющего вектора исходной прямой, вектора, соединяющего точку А с какой-либо точкой исходной прямой и направляющего вектора искомой прямой позволит завершить решение первой задачи.
Про вторую задачу: немного размышлений позволят Вам найти по уравнениям заданных плоскостей те самые косинусы, о которых говорится в алгоритме. В общем, обе задачи очень простые, нужно просто чуть-чуть разобраться.

[Lister]

Дело в том, что при подстановке cosD в уравнение для направляющих векторов я получаю одно уравнение в 3-мя неизвестными, при этом определить каким-либо образом l,m,n невозможно, можно получить только квадратное уравнение относительно этих 3-х переменных, являющихся направляющими векторами прямой B.

[Brukvalub]

Цитата:

..найдите все векторы, составляющие с вектором р требуемый угол - один из них и будет направляющим вектором нужной прямой..

-это первое условие на три координаты

Цитата:

..компланарность направляющего вектора исходной прямой, вектора, соединяющего точку А с какой-либо точкой исходной прямой и направляющего вектора искомой прямой...

-это второе условие на три координаты. А ,так как направляющий вектор определен с точностью до его растяжений или сжатий, то больше условий и не требуется.

[Someone]

Каноническое уравнение прямой $C$ (если только мы называем так одно и то же) содержит координаты её направляющего вектора $\vec a_C$. В качестве направляющего вектора прямой $B$ целесообразно взять вектор $\overrightarrow{AM}$, где $M$ - точка прямой $C$. Если перейти к параметрическим уравнениям прямой $C$, то координаты точки $M$ будут содержать только один неизвестный параметр. Этот параметр определяется из условия, что косинус угла между векторами $\vec a_C$ и $\overrightarrow{AM}$ равен $\pm\cos D$ (обычно такая задача имеет два решения).

Это решение не годится, если точка $A$ лежит на прямой $C$. Тогда прямых, удовлетворяющих условию задачи, при $|\cos D|\neq 1$ будет бесконечное множество. Их можно найти, записав то же условие с равенством косинуса угла между направляющими векторами величине $\pm\cos D$, но теперь направляющий вектор прямой $B$ нужно задать просто в виде $\vec a=l\vec\imath+m\vec\jmath+n\vec k$ (и можно наложить ещё условие $l^2+m^2+n^2=1$).