функции из A в B

[sandrachka]

здравствуйте, уважаемые участники форума!
помогите, пожалуйста! снова я с задачей разобраться не могу.
даные множества A и B по m и n элементов соответственно. нужно выяснить сколько существует функций из A в B. операция в принцыпе понятная, т.е. берем элемент x из множества A и спомощью какой-то функции f переводим его в f(x)=y. где y - это элемент множества B. но как подсчитать количество этих функций, которые могут переводить элементы множества A в элементы множества B???

[Xaositect]

Вот есть у нас множество $A$ из $n$ элементов.
Берем мы из него первый элемент $x_1$, и вешаем на него $y_1 = f(x_1)$. Один из $m$ штук, которые у нас в множестве $B$. Какой захотим.
Дальше берем второй элемент, вешаем на него $y_2$. Опять же, любой, мб тот же самый.
И так далее. И в итоге получается функция. Сколько таких функций может быть?

[sandrachka]

если я правильно поняла, то у каждого из nэлементов множества A может быть по m функций???

[arseniiv]

У элемента не может быть функций (неправильное употребление слов). Вы имели ввиду, что элемент $A$ может переводиться функцией в $m$ разных элементов $B$? А теперь скажите: двум элементам из $A$ мы можем сопоставить сколько пар элементов из $B$?

[sandrachka]

скорее каждый элемент из A может переводиться функцией не в m, а в n различных элементов B.
вообще, согласно моей логике, для двух элементов из A должно быть (n+n) возможностей перевода. но их судя по ответу задачи n^2.
а почему так я не могу понять. почему же оно так, люди добрые!???

[arseniiv]

Да, точно, там $n$, а не $m$, мы оба проглядели.

А вы попробуйте так: сначала выбираем образ первого элемента, а потом выбираем образ второго элемента. Сколько способов?

[Gortaur]

sandrachka
Давайте рассмотрим ситуацию, когда у нас 2 элемента в $A = (a_1,a_2)$ и 3 в $B = (b_1,b_2,b_3)$. Как посчитать число функий? Сначала мы берем те функции, у которых $f(a_1) = b_1$. Чтобы нас построить функцию, нам нужно определить ее и в $a_2$. Сколько у нас вариантов? У нас 3 варианта.

Теперь мы берем другую группу функций - те, у которых $f(a_1) = b_2$. Сколько таких функций? Тоже три.

Сколько таких групп? Три.

Итого у нас $3^2$ функций.

[sandrachka]

спасибо! но покачто не совсем дошло...
думаю, я сумею победить свою тупость и дойду наконец-таки своими мозгами до описанной выше идеи.
буду очень стараться!

[sandrachka]

и всё-таки не могу понять...
почему функций из множества издвух элементов во множество из трёх для каждого элемента будет по три.
??? :(

-- 22.06.2011, 22:33 --

ой! то есть почему их будет три группы???
по мне так функций получается 6.
f(a_1)=b_1
f(a_2)=b_1
f(a_1)=b_2
f(a_2)=b_2
f(a_1)=b_3
f(a_2)=b_3

[Gortaur]

Так, смотрим... Мы обозначаем функцию $f_{ij}$ если $f(a_1) = b_i$ и $f(a_2) = b_j$. Сколько у нас вариантов для $i$ - 3 варианта. И для каждого из этих вариантов есть 3 варианта выбрать $j$. Раз для каждого, то получается: 3 варианта для $i=1$, 3 варианта для $i=2$ и 3 варианта для $i=3$. Итого 9.

[sandrachka]

ура, товарищи! ура!
я поняла вас теоритически. :)
практически пойму со временем.