Полярное разложение комплексной матрицы.

[David Sunrise]

Подскажите пожалуйста несколько ссылочек или учебников ,в которых будет пример как это делать.

[caxap]

Метод обычно фактически излагается в доказательстве существования такого разложения. Сначала находится симметрическая часть, а потом унитарная. См., например, Винберг "Курс алгебры" и Головина "Линейная алгебра и некоторые её приложения".

[David Sunrise]

Ну да,теория в любом учебнике алгебры написана,а вот примера нигде нет...(Просто там когда доходишь до уравнения вида $B=C^2$,то там вроде можно обойтись без нахождения собственного базиса,потом матрицы перехода и.т.д это как то делается через интерполяционный многочлен лагранжа,и все сводится к решению уравнения вида :$(xB+yE)^2=B=C^2;,а E $-единичная матрица,$x,y$-числа

-- Вс июн 19, 2011 13:39:56 --

Вот именно этот способ я хотел увидеть на практике(или в теории),но буду доволен любому...потому что пока не встречал никакого)

[Joker_vD]

David Sunrise в сообщении #459780 писал(а):

Ну да,теория в любом учебнике алгебры написана,а вот примера нигде нет...

Ну выдуймайте его сами! Пишете от балды комплексную матрицу три на три и пропускаете ее сквозь теорию.

[David Sunrise]

Я всегда верил что кэп обязательно придет ко мне в трудную минуту,спасибо!!!

[retired]

Не знаю как там с комплексной, но могу привести алгоритм для вещественной

-- Вс июн 19, 2011 16:59:12 --

По теореме: Каждое линейное преобразование A унитарного пространства E допускает полярное разложение A=DU, где D- неотрицательное симметрическое, а U - унитарное преобразование пространства E. Преобразование D определяется однозначно; если А несобственное преобразование, то U также определяется однозначно.

Вообщем алгоритм нахождения для комплексных, такой же как для вещественных

[retired]

Алгоритм нахождения полярного разложения невырожденной матрицы:

1) Составляем матрицу $A^T \cdot A $ Эта матрица равна $(S^T \cdot U^T)\cdot U\cdot S=S \cdot U^-1 \cdot U \cdot S=S^2$ квадрату искомой матрицы $S$. Характеристические числа матрицы $S^2$ - квадраты характеристических чисел матрицы S

2) Находим ортогональную матрицу $T $ такую, что $T^-1 \cdot A^T \cdot A \cdot \ T=\operatorname{diag(a_1,...,a_n)}$ Матрица $S^2=A^T \cdot A$ симметрическая , поэтому по основной теореме о самосопряженных преобразованиях такая матрица $T$ существует

3) Матрицу $S$ находим по формуле $S=T\operatorname{diag}(\sqrt{a_1},..,\sqrt{a_n}) \cdot T^-1$, а матрицу $U$ по формуле $U=A \cdot S^-1$

[ewert]

retired в сообщении #459868 писал(а):

Не знаю как там с комплексной, но могу привести алгоритм для вещественной

Этот алгоритм от вещественности ничуть не зависит, надо лишь заменить транспонирование на эрмитово сопряжение. Но собственный базис -- поискать всё-таки придётся. Между тем было заявлено:

David Sunrise в сообщении #459780 писал(а):

когда доходишь до уравнения вида $B=C^2$,то там вроде можно обойтись без нахождения собственного базиса

Боюсь, что это была всё-таки аберрация.

[David Sunrise]

Спасибо)