Различные виды сходимости в пространстве операторов

[livasov]

Здравствуйте.
Не получается решить задачу.
Формулировка задачи:
Пусть $X, Y$ - нормированные пространства, последовательность $\left\{ A_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty \subset \mathcal{B}(X, Y)$ равномерно, сильно или слабо сходится к оператору $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, а последовательность $\left\{ x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty \subset X$ по норме или слабо сходится к вектору $x \in X$. В каждом из шести возможных случаев исследовать, будет ли последовательность $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ сходиться к вектору $Ax$ и указать тип сходимости.
___
Четыре случая из шести возможных я разобрал. Осталось рассмотреть два случая, когда последовательность $\left\{ x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ сходится слабо к $x$, а последовательность $\left\{ A_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ сходится сильно или слабо к $A$. Тут у меня возникли трудности. Видимо, надо предъявить такие $\left\{ A_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ и $\left\{ x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$, что последовательность $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ не сходится. Я рассматривал разные последовательности операторов, но в результате получал слабую сходимость последовательности $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$. Пожалуйста, помогите

[мат-ламер]

livasov в сообщении #459261 писал(а):

Я рассматривал разные последовательности операторов, но в результате получал слабую сходимость последовательности $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$.

А чем это не нравится?

[livasov]

нужно привести примеры сильно или слабо сходящейся последовательности операторов $\left\{ A_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ и слабо сходящейся последовательности векторов $\left\{ x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ таких, что последовательность $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ не сходится даже слабо

[Dan B-Yallay]

А может таких примеров и нет? Вроде тут доказывать надо, а не искать примеры или контрпримеры.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #459276 писал(а):

livasov в сообщении #459261 писал(а):

Я рассматривал разные последовательности операторов, но в результате получал слабую сходимость последовательности $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$.

А чем это не нравится?

А Вы конкретные последовательности рассматривали? Я Вас не так понял. Я подумал, что Вы рассматривали последовательности операторов с разными видами сходимости и доказали слабую сходимость $A_nx_n$. Попробуйте доказать, что она сходится слабо.

[livasov]

Пробовал доказать слабую сходимость оценками, не вышло.
Простите, что сразу не сказал: преподаватель мне сказал ответ. В этих двух оставшихся случаях последовательность $\left\{ A_{{n}}x_{{n}} \right\} _{{n=1}}^\infty$ не сходится даже слабо. Поэтому у меня возникли мысли, что нужно привести пример

[livasov]

Не могу найти подходящий пример. Так что, если кто-то подскажет, буду признателен