множество прообразов

[gefest_md]

Пусть дано $f\colon A\to B$ и $B_1\subseteq B$. Верно ли включение: $[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}\subseteq f^{-1}(B_1^\mathrm{C})$? (Если $x\in[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}$, то может быть $x\notin A$, что и вызывает у меня затруднение.)

[Someone]

Не понял. А что такое $C$?

[gefest_md]

дополнение

[Someone]

gefest_md в сообщении #459453 писал(а):

дополнение

То есть, нужно доказать равенство $f^{-1}(B\setminus B_1)=A\setminus f^{-1}B_1$?

gefest_md в сообщении #459442 писал(а):

(Если $x\in[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}$, то может быть $x\notin A$, что и вызывает у меня затруднение.)

Не может быть. Может быть другое: $y\notin fA$, тогда $f^{-1}y=\varnothing$. Или $f$ определено на большем множестве, чем $A$?

[gefest_md]

Someone в сообщении #459465 писал(а):

То есть, нужно доказать равенство $f^{-1}(B\setminus B_1)=A\setminus f^{-1}B_1$?

Это не та же самая задача. Она решается положительно мгновенно через две последовательности эквивалентностей. Вот одна из них:
\begin{align*}&x\in A\setminus f^{-1}(B_1)\\ &x\in A\,\&\,(x\notin A\vee f(x)\notin B_1)\\ &(x\in A\,\&\, x\notin A)\vee(x\in A\,\&\, f(x)\notin B_1)\\ &x\in A\,\&\, f(x)\notin B_1\end{align*}

Для равенства с дополнением ($\mathrm{C}$): $x\in[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}$\ \Leftrightarrow\ x\notin f^{-1}(B_1)\ \Leftrightarrow\ x\notin A\vee f(x)\notin B_1.

Someone в сообщении #459465 писал(а):

gefest_md в сообщении #459442 писал(а):

(Если $x\in[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}$, то может быть $x\notin A$, что и вызывает у меня затруднение.)

Не может быть. Может быть другое: $y\notin fA$, тогда $f^{-1}y=\varnothing$. Или $f$ определено на большем множестве, чем $A$?

Следовательно, может быть. Что искать: доказательство или контрпример?. Есть ощущение, что $A$ недостаточно большое, чтобы можно было найти контрпример.

[Someone]

gefest_md в сообщении #459494 писал(а):

Это не та же самая задача.

Извините, а у Вас дополнение в $[f^{-1}(B_1)]^\mathrm{C}$ и в $f^{-1}(B_1^\mathrm{C})$ относительно какого множества берётся?

[Joker_vD]

Дополнение до чего? У вас есть универсум? В таком случае $f^{-1}(U\setminus B_1) = F^{-1}(B\setminus B_1) \subseteq A$. Если $A \subset U$, то доказываемое включение не выполняется.