Энергетическая норма из задачи Штурма-Лиувилля

[Евгеша]

Возник такой вопрос:
Рассмотрим энергетическую норму из задачи Штурма-Лиувилля:

$$\Vert u \Vert^2=\int\limits_{0}^{l}(p(u')^2+qu^2)\, dx$$

Имеем неравенство:

$$\int\limits_{0}^{l}(p(u')^2+qu^2)\, dx\geqslant\int\limits_{0}^{l}p_0(u')^2\, dx$$

Если норма равна нулю, то отсюда получаем:

$$\int\limits_{0}^{l}(u')^2\, dx=0\Rightarrow u\equiv \operatorname{const}$$

Константа не обязательно равна нулю, но в то же время по свойству нормы:

$$\Vert u \Vert=0\Leftrightarrow u=0$$

Как это понимать?

[ewert]

Евгеша в сообщении #459278 писал(а):

Как это понимать?

Никак не понимать -- до тех пор, пока Вы не оговорили граничные условия и/или свойства потенциала $q$.

[мат-ламер]

Непонятно, зачем Вы привлекли сюда неравенство. Исходите из первой формулы.

[Dan B-Yallay]

$$\|u\|=0 \quad \Rightarrow \quad \int_0^l p(u')^2+qu^2 dx=0$$

Если $p,q \geq 0,$ то не только производная равна нулю:

$$\int_0^1 qu^2\ dx=0 \quad \Rightarrow \quad u \equiv 0$$

[Евгеша]

ewert
Обычная классическая постановка задачи.

мат-ламер
Как зачем? Из него же я и получил, что $u=const.$

Dan B-Yallay
А если $q\equiv 0$?

[Dan B-Yallay]

Тогда у Вас НЕ задача Штурма-Лиувилля и указанная норма не будет работать.

[Евгеша]

Dan B-Yallay
Почему? Где сказано, что $q$ не может быть нулем?

[Dan B-Yallay]

Затерто ошибочное заявление.

[Евгеша]

Dan B-Yallay
Есть лемма, утверждающая, что оператор Штурма-Лиувилля имеет нулевое собственное число тогда и только тогда, когда $q=0$ и коэффициенты при искомой функции в краевой задаче равны нулю (при производной необязательно). Собственно, при доказательстве сей леммы и возник вопрос из сабжа.

[ewert]

Евгеша в сообщении #459288 писал(а):

Обычная классическая постановка задачи.

Классических постановок -- много. И, скажем, для задачи Неймана с нулевым потенциалом это действительно не будет нормой. Про всевозможные граничные условия третьего типа я уж даже и не говорю.

Короче: пока задача точно не сформулирована -- и обсуждать нечего.

[Dan B-Yallay]

Ссылкой на книжку не поде'литесь?
Вроде при $q\equiv 0$ указанная норма переходит в семинорму. Со всеми вытекающими.

[Someone]

Да, в этом случае нормы не получается, если, конечно, не рассматривается пространство функций с нулевыми граничными условиями. (В смысле, функция на концах отрезка обращается в $0$.)

[Евгеша]

Dan B-Yallay
Это из лекций в университете.
Наверно так и есть, q будет нулем, а норма - полунормой, поэтому норма в ноль обращается необязательно в нуле.