Случайные величины с бесконечной дисперсией

[Krezol]

Собственно я скорее физик, нежели математик, поэтому люблю поглубже разобраться в сути конкретной проблемы.

Возник такой вопрос в области теории вероятностей.
Возможно ли отсутствие существования дисперсии как таковой, при том что математическое ожидание существует?
Не для кого не секрет, что дисперсия любой случайной величины неотрицательна. А возможен ли случай что дисперсия случайной величины будет равна бесконечности?

Можете подсказать какие-либо книжки по этому поводу, ну или просто что-то посоветовать)

[ewert]

Krezol в сообщении #458781 писал(а):

Возможно ли отсутствие существования дисперсии как таковой, при том что математическое ожидание существует?
Не для кого не секрет, что дисперсия любой случайной величины неотрицательна. А возможен ли случай что дисперсия случайной величины будет равна бесконечности?

Возможно. Возможен. Причём второе (в том, что касается дисперсии) равносильно первому.

[mclaudt]

(Оффтоп)

Krezol в сообщении #458781 писал(а):

Собственно я скорее физик, нежели математик, поэтому люблю поглубже разобраться в сути конкретной проблемы.

Годный вброс.

ewert в сообщении #458784 писал(а):

Причём второе (в том, что касается дисперсии) равносильно первому.

А можно ли подобрать неинтегрируемую даже по Лебегу функцию распределения, симметричную относительно среднего значения? Понятно что аксиоматика теории вероятности выполняться не будет. Но из симметрии "среднее значение" будет равно нулю. А момент инерции графика плотности вероятности существовать не будет.

[ewert]

mclaudt в сообщении #458816 писал(а):

А можно ли подобрать неинтегрируемую даже по Лебегу функцию распределения,

Нельзя: функция распределения монотонна и, значит, интегрируема. Плотность -- тоже нельзя: конструктивных неизмеримых функций не бывает, а заведомо неконструктивные никому и не интересны.

mclaudt в сообщении #458816 писал(а):

Но из симметрии "среднее значение" будет равно нулю.

Ничего подобного: "среднее значение" -- это по определению первый момент, и он, кстати, тоже вполне может и не существовать (для распределения Коши, скажем). А привязка симметрии к среднему значению -- это всего лишь лирика.

[мат-ламер]

Распределение Коши (наверное, есть в Википедии, но не смотрел) имеет бесконечную дисперсию.

[mclaudt]

ewert в сообщении #458826 писал(а):

А привязка симметрии к среднему значению -- это всего лишь лирика.

Ну так я потому и поставил кавычки, так как разумеется если исходить из формального определения, то для неинтегрируемой по Лебегу функции посчитать среднее не получится.

[Krezol]

ewert в сообщении #458784 писал(а):

Возможно. Возможен. Причём второе (в том, что касается дисперсии) равносильно первому.

Конечно можно сразу сказать, что дисперсия не будет существовать (т.е не будет определена) у распределения Коши, однако оно и не имеет математического ожидания как такового...

[mclaudt]

ewert в сообщении #458826 писал(а):

Нельзя: функция распределения монотонна и, значит, интегрируема.

Я как раз про плотность распределения.

ewert в сообщении #458826 писал(а):

Плотность -- тоже нельзя: конструктивных неизмеримых функций не бывает, а заведомо неконструктивные никому и не интересны.

Т.е. неконструктивная функция не может описывать никакую случайную величину? Понятно, что я не о существующей аксимоатике ТВ (ежу ясно что неизмерима - значит никакого ТВ), а о применимости таких функций вообще.

[ИСН]

Krezol, ну дак возьмите распределение, которое спадает чуть быстрее, чем Коши.
(Возьмите из головы, не в справочниках - там я таких не видал. Это не потому, что сложно, а просто как-то не понадобились.)
mclaudt, как только придумаете альтернативную аксиоматику - be my guest.

[ewert]

mclaudt в сообщении #458837 писал(а):

а о применимости таких функций вообще.

Они вообще и не применимы. Что требуется от математической теории? Чтобы она была корректной и при этом описывала достаточно широкий класс явлений. Измеримость обеспечивает корректность и при этом ничуть не обременительна: всё равно невозможно построить неизмеримую функцию хоть сколько-то явно. Так что с практической точки зрения можно считать, что неизмеримых функций не бывает.

[mclaudt]

ИСН в сообщении #458842 писал(а):

mclaudt, как только придумаете альтернативную аксиоматику - be my guest.

Всенепременно. Мне просто захотелось узнать границы применимости текущего расклада, и качественные причины этих границ. Сослаться на определение - особого ума не надо - мне было бы интересно послушать собственные мысли местных спецов.

[Joker_vD]

Krezol в сообщении #458781 писал(а):

Возможно ли отсутствие существования дисперсии как таковой, при том что математическое ожидание существует?

Хм. Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #458857 писал(а):

Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы?

К чему такие страсти-то: просто $\dfrac{N}{|x|^3+1}$. Или ещё проще: $\dfrac{1}{(|x|+1)^3}$.

[Krezol]

ИСН в сообщении #458842 писал(а):

Krezol, ну дак возьмите распределение, которое спадает чуть быстрее, чем Коши.

Все, спасибо, разобрался)

[alisa-lebovski]

Поищите понятие "устойчивые распределения" (stable distributions). При $\alpha\in (0,1]$ нет ни конечного среднего, ни дисперсии. При $\alpha\in (1,2)$ есть среднее, но нет дисперсии (бесконечна). При $\alpha=2$ получается нормальное распределение, со средним и дисперсией.