Квантовая механика, частица в потенциальной яме.

[Munin]

Кажется, я понял. ewert считает граничные условия частью определения пространства функций, а его оппоненты - частью динамики системы, "частью гамильтониана". В своей интерпретации соответственно и те и другие правы.

[Bulinator]

ewert,
я все-равно не понимаю.

Тогда, ответьте пожалуйста, на вопрос:

Bulinator в сообщении #458535 писал(а):

Рассматриваем задачу осциллятора. Его решением являются в.ф. $\phi_n=C_n e^{-x^2}H_n(x)$.
Вопрос: существуют ли коэффициенты $a_k^{(n)}$ такие, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k^{(n)})^2=1$ и $\Psi_n=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k^{(n)}\phi_k$, где $\Psi_n$ в.ф. частицы в бесконечно глубокой яме?

-- Чт июн 16, 2011 16:19:25 --

$\Psi_n=\left\{\begin{array}{ll}\sin{x\pi n}\quad x\in [0,1]\\ 0,\quad \text{в остальных случаях}\end{array}\right.$

[ewert]

Munin в сообщении #458656 писал(а):

Кажется, я понял. ewert считает граничные условия частью определения пространства функций

Не поняли. Частью определения не пространства функций (это $L_2([a;b])$), а частью описания области определения оператора. Невозможно говорить об операторе, не указывая явно его область определения. И если такое описание допускает различные граничные условия (в тех случаях, когда граничные условия вообще требуются), то от их выбора зависят и свойства оператора. В частности, его спектр.

Для оператора энергии на отрезке по ряду причин разумными являются нулевые граничные условия на саму функцию (хотя теоретически можно было бы выбрать и другие). Для оператора "импульса" такой выбор невозможен.

Bulinator в сообщении #458666 писал(а):

Вопрос: существуют ли коэффициенты $a_k^{(n)}$ такие, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k^{(n)})^2=1$ и $\Psi_n=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k^{(n)}\phi_k$, где $\Psi_n$ в.ф. частицы в бесконечно глубокой яме?

Существуют, конечно. Только толку с них ни малейшего: функции Эрмита никакого отношения к динамике в потенциальном ящике не имеют.

[Bulinator]

ewert в сообщении #458751 писал(а):

Существуют, конечно. Только толку с них ни малейшего: функции Эрмита никакого отношения к динамике в потенциальном ящике не имеют.

В таком случае, мы можем расмматривать такое суперпозиционное состояние частицы в поле осцилятора. И не важно из каких соображений мы получили эти в.ф. Главное, что они существуют и оператор импульса на них хорошо определен и он эрмитов. Правильно?

[ewert]

Bulinator в сообщении #458760 писал(а):

В таком случае, мы можем расмматривать такое суперпозиционное состояние частицы в поле осцилятора.

Не можем. Пространства функций разные. Для осциллятора это $L_2(\mathbb R)$, а для ящика -- $L_2([a;b]})$. Первая задача не имеет никакого отношения ко второй.

Bulinator в сообщении #458760 писал(а):

Главное, что они существуют и оператор импульса на них хорошо определен и он эрмитов. Правильно?

Неправильно. Во-первых, оператор определён не на каких-то там конкретных функциях, а на линейном подмножестве гильбертова пространства $L_2$. Во-вторых, я не знаю, какой смысл Вы вкладываете в понятие "эрмитов" (у физиков вечно с этим термином путаница), но он не самосопряжён, как положено было бы порядочному оператору.

[Bulinator]

ewert в сообщении #458765 писал(а):

Для осциллятора это $L_2(\mathbb R)$, а для ящика -- $L_2([a;b]})$

Так ведь $L_2([a;b]})\subset L_2(\mathbb R)$. Или нет?

[Andante]

Этот всё замечтательно, одно только непонятно. Вот решение задачи о частице в яме (например, здесь http://allphysics.ru/kurs-fiziki/chasti ... i-stenkami). Представляю себе условие задачи, увеличенное в 10 миллиардов раз, как две бетонные стены, между которыми туго натянута струна с бусиной на ней. Трения нет, столкновения упругие. Бусина движется по струне и отскакивает от стенок. Ответ задачи сообщает что на первом уровне возбуждения при n=2 вероятность найти бусину по 0,5 в каждой половине ямы. Но то же решение запрещает бусине появляться в середине струны. Это как понять? Каким бы хитрым ни было движение бусины, но если она, как указано в условии задачи, "частица", то есть имеет определенные неизменные размеры и неделима, то из левой половины в правую мимо середины не проскочит - задача по условию одномерная.
Объясните мне, пожалуйста, это противоречие.
ПС. Уже задавал на этом форуме свой вопрос, но никто внятно не ответил, а модеры его тихо удалили. Мне же он по-прежнему непонятен и интересен.

[ewert]

Bulinator в сообщении #458776 писал(а):

Так ведь $L_2([a;b]})\subset L_2(\mathbb R)$. Или нет?

Нет. Это совсем разные пространства.

[Bulinator]

Andante в сообщении #458782 писал(а):

Каким бы хитрым ни было движение бусины, но если она, как указано в условии задачи, "частица", то есть имеет определенные неизменные размеры и неделима, то из левой половины в правую мимо середины не проскочит - задача по условию одномерная.

Это частица, она типа квантовая и там она вообще не движется, а просто обладает волновой функцией. Вот...

P. S.
Представить это невозможно. Не пытайтесь! :)

-- Чт июн 16, 2011 20:26:24 --

ewert в сообщении #458785 писал(а):

Нет. Это совсем разные пространства.

Ага!! Можете привести пример функции из $L_2([a,b])$, которая не из $L_2(\mathbb{R})$?

[ewert]

Andante в сообщении #458782 писал(а):

Ответ задачи сообщает что на первом уровне возбуждения при n=2 вероятность найти бусину по 0,5 в каждой половине ямы.

А там независимо от того, насколько она возбудилась, по половинке выйдет. Просто по симметрии задачи.

Andante в сообщении #458782 писал(а):

Но то же решение запрещает бусине появляться в середине струны.

Кто такое сказал? Из того, что плотность вероятности равна нулю, вовсе не следует, что частицу нельзя зарегистрировать в окрестности данной точки. Кроме того, частица в стационарном состоянии вовсе не летает туды-сюды, так что сама постановка вопроса бессмысленна.

-- Чт июн 16, 2011 19:29:29 --

Bulinator в сообщении #458786 писал(а):

Можете привести пример функции из $L_2([a,b])$, которая не из $L_2(\mathbb{R})$?

Не могу, конечно. Функция из $L_2([a,b])$ попросту не определена на всей оси, поэтому вопрос не имеет смысла.

[Bulinator]

Утверждение(Bulinator, 16.06.2011): волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме всегда из $L_2(\mathbb{R})$.

[ewert]

Bulinator в сообщении #458793 писал(а):

Утверждение(Bulinator, 16.06.2011): волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме всегда из $L_2(\mathbb{R})$.

Сотрите это утверждение, оно бессмысленно.

[Andante]

Bulinator в сообщении #458786 писал(а):

Andante в сообщении #458782 писал(а):

Это частица, она типа квантовая и там она вообще не движется, а просто обладает волновой функцией. Вот...

P. S.
Представить это невозможно. Не пытайтесь! :)

Если частица бывает и в левой половине и в правой, значит, она меняет свои координаты, следовательно, движется. А как она при этом ещё и НЕ движется, представить, действительно, невозможно, я и пытаться не буду. Это примерно как "пить водку по утрам не только вредно, но ещё и полезно".

Вы сами поняли что сказали? Если да, то объясните и мне, пожалуйста.

-- Чт июн 16, 2011 18:44:04 --

Andante в сообщении #458782 писал(а):

Но то же решение запрещает бусине появляться в середине струны.

Цитата:

Кто такое сказал? Из того, что плотность вероятности равна нулю, вовсе не следует, что частицу нельзя зарегистрировать в окрестности данной точки. Кроме того, частица в стационарном состоянии вовсе не летает туды-сюды, так что сама постановка вопроса бессмысленна.

Это следует хотя-бы из графика функции модуль-пси-квадрат (не знаю как писать греческим). Справа от середины ямы график такой же как справа от левой границы ямы. На левой границе частица не бывает потому что там потенциальная стенка, значит, в середине ямы график функции говорит о том же - частице там бывать запрещено. Доказать это можно и более "академически", с эпсилон-окрестностями, но и такого рассуждения уже достаточно.

Как частица перепрыгивает запрещенную середину ямы чтобы бывать в обоих половинах?

[Bulinator]

ewert в сообщении #458800 писал(а):

Сотрите это утверждение, оно бессмысленно.

С чего бы это? Функция есть, она определена на всей оси $\mathbb{R}$... Не сотру!

Итак, рассмотрим яму конечной глубины $V<\infty$.
$U(x)=\left\{\begin{array}{ll}V,\quad x\in[0,1]\\ 0\text{во всех остальных случаях}\end{array}\right.$
Утверждение II(Bulinator, 16.06.2011):
$[\hat{H},\hat{p}]=c_1\delta(x)+c_2\delta(x-1)\neq 0$.

-- Чт июн 16, 2011 20:48:15 --

Andante в сообщении #458801 писал(а):

она меняет свои координаты, следовательно, движется.

Я в смысле слово "движение" на квантах имеет не совсем тот же смысл, что на классике. Там нет раектории. Запаритесь представлять.

[Andante]

Цитата:

Там нет раектории.

Частица есть, движение есть, а траектории нет? В одном месте излучилась гамма-квантом, в другом стала снова частицей? Или ударилась о стенку и обернулась сизым соколом, пролетела пол ангстрема, стукнулась об другую стенку и обернулась Иваном-царевичем...

Электрон, например, частица стабильная и не исчезает просто так, от скуки. А чтобы переместиться из одной половины ямы в другую ей надо именно исчезнуть в середине.

Вы себя сами понимаете?