Теория множеств.

[Andrey173]

Проверьте пожалуйста решение задачи. Кстати, я видел книжки по теории множеств, где буквально каждый чих нужно было доказать (Например конечное множество мощнее своего собственного подмножества). Эта задача из книжки для школьников (Куранта), поэтому интуитивно очевидные факты можно не доказывать.
Задача: Доказать, что множество состоящее из всех возможных подмножеств (не только собственных) множества натуральный чисел (назовем его - множество А) эквивалентно множеству точек отрезка $[0; 1]$

Решение: Каждому элементу множества А сопоставим символ $a_1a_2....$, где $a_n =$ 1 или 0 в зависимости от того принадлежит ли число n элементу.
Каждый из этих символов можно сопоставить двоичной дроби у которой дробная часть совпадает с символом, а целая часть равна нулю. Но проблема в том, что дроби с периодом 0 можно записать двумя способами.
Тогда для таких дробей нужно сделать другое сопоставление. Рассмотрим множество всех предпериодов заканчивающихся на цифру 1 и сделаем построение на примере одного из них (назовем его - предпериод x). Для дробей у которых предпериода нет аналогично.
$\overline{0.x1(0)} \leftrightarrow \overline{x1(0)}$
$\overline{0.x01(0)} \leftrightarrow \overline{x0(1)}$
$\overline{0.x001(0)} \leftrightarrow \overline{x01(0)}$
$\overline{0.x0001(0)} \leftrightarrow \overline{x00(1)}$
Т.е. символу вида $\overline{x[000..]1(0)} $, где в квадратных скобках n нулей соответствует дробь $\overline{0.x[000..]1(0)}$ где в кавадратных скобках 2n нулей, а символу вида $\overline{x[000..]0(1)} $ где в квадратных скобках n нулей соответствует дробь $\overline{0.x[000..]1(0)}$ где в квадратных скобках 2n +1 нулей.
При таких операциях с каждым предпериодом, не какая дробь по идеи не должна быть рассмотрена два раза и должны быть рассмотрены все дроби, и также установлено соответствие между данными двумя множествами.