Несложный тригур с маленьким подвохом

[Xenia1996]

$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.

[nnosipov]

Ксения, с Вашего разрешения, поскольку подвох действительно небольшой, позволю себе привести подобный же пример из ЕГЭ-задачника, который (пример) меня в своё время немного удивил.
Найти наименьшее $k$, при котором система уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}+1/8=0,\\ |x|+|y|+|y-kx-\pi|=x(1+k)+\pi \end{array} \right. $$

имеет решение.
Тоже, конечно, не шедевр, но на фоне задач из других вариантов (которые были почему-то значительно проще) это смотрелось. И ответ к нему в задачнике был неправильный.

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):

$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.

$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

[mitia87]

nnosipov в сообщении #457584 писал(а):

Ксения, с Вашего разрешения, поскольку подвох действительно небольшой, позволю себе привести подобный же пример из ЕГЭ-задачника, который (пример) меня в своё время немного удивил.
Найти наименьшее $k$, при котором система уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}+1/8=0,\\ |x|+|y|+|y-kx-\pi|=x(1+k)+\pi \end{array} \right. $$

имеет решение.
Тоже, конечно, не шедевр, но на фоне задач из других вариантов (которые были почему-то значительно проще) это смотрелось. И ответ к нему в задачнике был неправильный.

Первое уравнение - действительно хорошее упражнение на дискриминант, а второе - на свойство модуля. А откуда именно задача?

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #457681 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):

$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.

$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

Ваше решение не совсем полное.
Подумайте ещё.
Относительно $x$ всё верно, но вот относительно $y$ есть ещё одно семейство решений.

Вернее, так: семейство $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$ подходит только для $x=1$, а для $x=-1$ есть иное семейство.

[nnosipov]

(Оффтоп)

mitia87 в сообщении #457730 писал(а):

Первое уравнение - действительно хорошее упражнение на дискриминант, а второе - на свойство модуля. А откуда именно задача?

Корешкова Т.А. и др. ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания. М.: Экзамен, 2007. Совершенно обычная книжка этого типа, коих сейчас наплодили великое множество. В ответе к этой задаче стоит $k=-1$, что неверно.

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #457734 писал(а):

zhekas в сообщении #457681 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):

$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.

$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

Ваше решение не совсем полное.
Подумайте ещё.
Относительно $x$ всё верно, но вот относительно $y$ есть ещё одно семейство решений.

Вернее, так: семейство $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$ подходит только для $x=1$, а для $x=-1$ есть иное семейство.

Если $x=1$ то получается уравнение

$$1+2\sin y +1 =0$$

$$2+2\sin y=0$$

$$\sin y =-1$$

Если $x=-1$ то получается уравнение

$$1-2\sin {(-y)} +1 =0$$

минус выносим за знак синуса

$$2+2\sin y=0$$

$$\sin y =-1$$

Так что у $x=\pm1$ одно семейство $y$

[man111]

$\displaystyle{x^2+2x\sin\left(xy\right)+1 = 0}$

$x^2+2x\sin\left(xy\right)+\sin^2\left(xy\right)+\cos^2\left(xy\right) = 0$

$\left(x+\sin\left(xy\right)\right)^2+\left(\cos\left(xy\right)\right)^2 = 0$

Which is possible only when $x+\sin\left(xy\right) = 0$

and $\cos\left(xy\right) = 0$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #457803 писал(а):

Если $x=1$ то получается уравнение

$$1+2\sin y +1 =0$$

$$2+2\sin y=0$$

$$\sin y =-1$$

Если $x=-1$ то получается уравнение

$$1-2\sin {(-y)} +1 =0$$

минус выносим за знак синуса

$$2+2\sin y=0$$

$$\sin y =-1$$

Так что у $x=\pm1$ одно семейство $y$

Это я минус и плюс перепутала.
Если $x=1$, получаем уравнение $1+2\sin{y}+1=0$
Переносим единички вправо: $2\sin{y}=-2$
Делим на 2: $\sin{y}=-1$
Решением будет $x=1, y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$
Разве не так?

А вот при $x=-1$ Вы, конечно, правы.

[mitia87]

nnosipov в сообщении #457786 писал(а):

В ответе к этой задаче стоит $k=-1$, что неверно.

А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось

(Оффтоп)

$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #457839 писал(а):

Это я минус и плюс перепутала.
Если $x=1$, получаем уравнение $1+2\sin{y}+1=0$
Переносим единички вправо: $2\sin{y}=-2$
Делим на 2: $\sin{y}=-1$
Решением будет $x=1, y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$
Разве не так?

А вот при $x=-1$ Вы, конечно, правы.

А разве $y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$ чем-то отличается от $x=1, y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #457842 писал(а):

А разве $y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$ чем-то отличается от $x=1, y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$

Меня этот минус просто с толку сбил немного.

Если $x=1$, то $\sin{y}=-1$
Если $x=-1$, то $\sin{(-y)}=1$
А поскольку синус - нечётная функция, Вы правы.

[nnosipov]

mitia87 в сообщении #457841 писал(а):

А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось
$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

Первое уравнение можно переписать в виде $(\cos{2x}+\cos{2y}+1)^2+(\sin{2x}-\sin{2y})^2=0$. А Ваш ответ совпадает с моим, надеюсь, мы оба не ошиблись.

[mitia87]

nnosipov в сообщении #457908 писал(а):

mitia87 в сообщении #457841 писал(а):

А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось
$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

Первое уравнение можно переписать в виде $(\cos{2x}+\cos{2y}+1)^2+(\sin{2x}-\sin{2y})^2=0$. А Ваш ответ совпадает с моим, надеюсь, мы оба не ошиблись.

вроде это не лучше варианта $\frac{1}{2} \left ( cos(x + y) + \frac{1}{2} cos(x -y) \right )^2 + \frac{1}{8}\sin^2(x - y) = 0.$

[nnosipov]

mitia87 в сообщении #457939 писал(а):

вроде это не лучше варианта $\frac{1}{2} \left ( cos(x + y) + \frac{1}{2} cos(x -y) \right )^2 + \frac{1}{8}\sin^2(x - y) = 0.$

Да, примерно одно и то же. Но прийти к этим тождествам --- это некая работёнка. Я вот комплексные числа использовал --- с алгебраическими многочленами проще работать, чем с тригонометрическими. Для ЕГЭ такие задачи, наверное, сложноваты.

Ксения, Вы не против, что мы здесь это обсуждаем? По-моему, очень схожие вещи.