Треугольное сечение тетраэдра

[arqady]

Докажите, что площадь треугольного сечения тетраэдра не превосходит площади какой-то его грани.
Чувствую, что тривиально, но я сразу не вижу. Спасибо!

[Sonic86]

(так решать не надо)

Поскольку сечение тетраэдра треугольное, то считаем, что его вершины $X,Y,Z$ лежат на ребрах $AB,AC,AD$ соответственно. Каждая из вершин тетраэдра пробегает отрезок. Рассмотрим площадь сечения как функцию от этих трех точек. Фиксируя 2 произвольных точки, мы получим, что $S(X,Y,Z)$ - непрерывная функция с локальным минимум и локальными максимумами на концах отрезка. Поскольку фиксируемые точки были произвольны и с произвольным положением, то по теореме Вейерштрасса получаем, что максимумы функции достигаются на ее границах.

[arqady]

Sonic86, по-моему, Ваше рассуждение приводит к короткому пути.
Правда, минимум площади треугольника, о котором Вы говорите, может достигаться и внутри отрезка, тогда высота треугольника - это длина общего перпендикуляра между прямой, проходящей через Ваши фиксированные вершины и прямой, по которой бегает третья вершина. Но теперь очевидно, что в любом случае, максимум площади достигается на каком-то из концов отрезка, по которому бегает третья вершина.
Спасибо большое!