Не могу понять одну вещь.
Вот рассмотрим самый тривиальный случай: частица с массой m в одномерной потенциальной яме, где потенциальная энергия
![$$ U(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x\in [0,\alpha]$;}\\ \infty,&\text{иначе} \end{cases} $$ $$ U(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x\in [0,\alpha]$;}\\ \infty,&\text{иначе} \end{cases} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/1/c71c2fbfab7bc9e44272b1b713e2493782.png)
Тогда уравнение Шредингера на
![$ x \in [0,\alpha]$ $ x \in [0,\alpha]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5deb413de7cdaa68aef8dff77c7179a282.png)
примет вид



Откуда следует, что

учитывая условие, что

получим, что

и соответственно

учитывая второе граничное условие

и условие нормировки получим, что

, где

Теперь попробуем вычислить матричные элементы, скажем, импульса:

При

интегрируется тривиально:

На сколько я понимаю, при

должно быть

.
Но так не выходит. Рассмотрим две ситуации: когда четность у m и n одинаковая, и когда разная.
Если четность одинаковая, то легко проверить, что (m-n) и (m+n) четные и соответсвенные интегралы

Но если четность у m и n разная, то (n-m) и (m+n) не четны и

и соответственно

что вроде как не правильно.
Где я ошибаюсь?