Есть задачка, которая вызвала много споров

[AlexDem]

Антипка писал(а):

веревка тоже может провиснуть, а груз - при этом свободно двигаться под действием силы тяжести.

Да, пожалуй, неправ Аналогия вроде верна. В задаче, как ее поставил zbl, стержень будет двигаться по сектору элипса, и этот элипс будет тем более "сплющен" с боков, чем больше соотношение масс трубы и стержня.

Андрей123 писал(а):

Ошибка скорее всего в том, что мы считали r=const. На самом деле стержень должен где-то оторваться и упасть.

Нет, оторваться он не может - он всегда движется вниз, а труба из-под него выскальзывает. Если трение отсутствует совсем, то труба даже вращаться не будет - она будет просто скользить по поверхности.

Антипка писал(а):

Во-вторых, ты неправ по существу. Такое развитие событий возможно только при внешнем воздействии на систему - если платформе (трубе) сообщить горизонтальный импульс достаточной величины. В противном случае это просто невозможно.

Вообще, я исходил из общих соображений - если в следствие движения системы центр масс не может сохранить своего положения, то должна возникнуть нелинейность и, как следствие - удар.

Например, это будет иметь место без всяких внешних воздействий, если мы увеличим амплитуду колебаний стержня в трубе. Рассмотрим те же веревочные качели, на которых качался в детстве я Если амплитуда колебаний будет больше, чем сектор с 9 до 3 часов, то с верхней точки (например - 11 часов) качели будут просто свободно падать до точки 7 часов, в которой получим удар.

В частности, в рамках данной задачи я рассуждал так. Для того, чтобы удара в нижней точке не произошло, вся потенциальная энергия стержня $E_p=mgR$ в нижней точке должна перейти в кинетическую энергию. Если мы рассмотрим обычный маятник, где стержень закреплен на оси, то его горизонтальная скорость в нижней точке должна быть $v = \sqrt{2gR}$ из соотношения

$$E_k = \frac{mv^2} 2 = mgR = E_p$$

. Эта скорость не зависит от массы.

Однако, если вернуться к условиям задачи, то при большой массе стержня его скорость в нижней точке будет практически нулевой, следовательно, вся энергия должна представляться энергией движения трубы. Я рассматривал случай, когда труба все же не может скользить по поверхности, то есть вся энергия должна представляться вращательно-поступательным движением трубы.

При M << m скорость вращения трубы для той же кинетической энергии должна быть существенно больше, чем $v = \sqrt{2gR}$. Мне не совсем понятно - каким образом она может приобрести такую скорость - ведь разгоняет ее тот же стержень. Возможно, что она все же сможет получить большое ускорение вблизи нижней точки, а потом тут же затормозиться - но я пока с этим до конца не разобрался.

Антипка писал(а):

Наверное, справедливо ругают современное образование?

Антипка, ты не прав Я лет 10 уже не сталкивался с дифурами, так что если что и знал - забыл. Да и механику нам преподавали постольку-поскольку. В любом случае преподать что-то раз и навсегда практически нереально, да и самостоятельно разобраться всегда можно - если нужно.

[zbl]

Антипка писал(а):

zbl писал(а):

Если любителей решать задачки так много (чего я никак не ожидал), то может быть стоит их выложить отдельными ветками здесь?
Как считает публика? -- не будет это пустым засорением умного научного форума?

Это не вызвало бы такой дискуссии, если бы народ достаточно хорошо знал механику. Задача-то вполне типична для курса теоретической/аналитической механики. Наверное, справедливо ругают современное образование?

О какой дискуссии речь? здешней, или в узких кругах?
Здесь по определению открытый форум, и очень хорошо, что большинство его участников не знают механики -- это показывает их интерес освоить её.
Если говорить об "узких кругах", откуда пришла задача, то эти задачки как раз и служат там своеобразными апориями, затем и призванными, чтобы ясно выявить безграмотность.
Так и в том и в другом случае дискуссии только способствуют росту количества людей, знающих механику.
В образовании нашем всё дьявольски плохо, но это уже совсем другая история...

[Антипка]

AlexDem писал(а):

При M << m скорость вращения трубы для той же кинетической энергии должна быть существенно больше, чем . Мне не совсем понятно - каким образом она может приобрести такую скорость - ведь разгоняет ее тот же стержень. Возможно, что она все же сможет получить большое ускорение вблизи нижней точки, а потом тут же затормозиться - но я пока с этим до конца не разобрался.

Меня удивляет, что народ начинает гадать, используя различные "рассуждения". Тут гадать не надо - берешь, аккуратно записываешь уравнения, выражающие законы физики, и все становится ясно. Еще раз повторю - это абсолютно стандартная задача из курса теормеха, далеко не самая сложная. Что касается случая, когда труба не скользит по поверхности, а перекатывается по ней, то там отличия в первом интеграле будут минимальны: коэффициент m/(M+m) будет в квадрате, вот и вся разница, вся картина будет качественно той же самой.

[zbl]

Антипка писал(а):

Меня удивляет, что народ начинает гадать, используя различные "рассуждения". Тут гадать не надо - берешь, аккуратно записываешь уравнения, выражающие законы физики, и все становится ясно.

Вы считаете, что всегда удастся записать уравнения?
В реальной жизни всё ой как далеко не так!
Прежде, чем записать уравнения, нужно выбрать подходящее приближение; вот тут и нужны всякие догадки о том, что будет, если взять так, а не эдак.
Нужно просто быть аккуратным (грамотным), а какой способ выбрать, выписывания уравнений или угадайку -- не так важно.

[Андрей123]

Но уравнения ведь в общем случае надо записывать, не считая r=const.[/i][/b]

[Антипка]

Андрей123 писал(а):

Но уравнения ведь в общем случае надо записывать, не считая r=const

Тогда получится чересчур сложная модель. Вполне корректно записать уравнения в предположении r=const, а затем убедиться, что отрыва не произойдет, записав выражение для нормальной реакции труба-груз.

[Андрей123]

Я вроде бы разобрался, трбуа не должна резко менять скорость, а будет плавно тормозиться стержнем, пока он достигнет 3-х часов, но то, что r=const всё равно надо бы доказать

[Антипка]

zbl писал(а):

Вы считаете, что всегда удастся записать уравнения?
В реальной жизни всё ой как далеко не так!

Рассматриваемая задача не имеет никакого отношения ек реальной жизни, это усть упрощенная физическая модель (геометрия трубы идеальная, нет трения и т.п.).

zbl писал(а):

Прежде, чем записать уравнения, нужно выбрать подходящее приближение; вот тут и нужны всякие догадки о том, что будет, если взять так, а не эдак.

Да, именно так и надо делать для реальных задач, т.е. начинать надо с выбора модели и обязательно оценивать ее адекватность. Давай, предъявляй реальную трубу, которая у тебя имеется, а мы решим, вправе ли мы пренебрегать толщиной ее стенок, коэффициентом трения о паркет и т.д.. Ты же фактически предъявил нам идеализированный случай. В нём уже все выбрано. Думать уже не надо - надо "трясти".

zbl писал(а):

Нужно просто быть аккуратным (грамотным), а какой способ выбрать, выписывания уравнений или угадайку -- не так важно.

Все правильно, только в "угадайке" чрезвычайно легко ошибиться. Поэтому предпочитаю не гадать, а использовать математику.

[zbl]

Антипка писал(а):

zbl писал(а):

Нужно просто быть аккуратным (грамотным), а какой способ выбрать, выписывания уравнений или угадайку -- не так важно.

Все правильно, только в "угадайке" чрезвычайно легко ошибиться. Поэтому предпочитаю не гадать, а использовать математику.

Интересно, если будет задачка со стохастическим диф. уравнением (нелинейным, естественно), как будет выглядеть вашинская математика? лет двести будет думать над определением стохуравнений? а нам надо прям щас.

[Андрей123]

Андрей123 писал(а):

Антипка писал(а):

Тогда получится чересчур сложная модель. Вполне корректно записать уравнения в предположении r=const, а затем убедиться, что отрыва не произойдет, записав выражение для нормальной реакции труба-груз.

Вы действительно правы. Просто я что-то затормозил. Иногда спешу и пишу необдуманно. Извините за глупость

[Архипов]

Если Андрей123 настаивает на начальных идеальных условиях, то получится такая картина: стержень будет прыгать как мячик, вертикально, Почему вертикально? Труба не имеет массы, потому центр масс всей системы - в оси стержня. И вообще труба будет поворачиваться виртуально, просто из-за геометрии. Она же не может "провалиться" под опору. Труба инерции не имеет. Всё. Формулу уже написали -как для идеального упругого шарика, падающего на идеальный упругий пол.

Добавлено спустя 7 минут 36 секунд:

Ну, если только вращение стержня учесть? Хотя энергия сохраняется, максимальное угловое ускорение - когда стержень касается опоры, потому можно считать трубу просто упругой пружиной, действующей, в основном, в самой нижней части траектории. Но для этого нужен коэфф. упругости трубы. А труба без массы молекул не имеет Откуда упругость взять?

[Негамильтон]

При $m=M$, похоже, будет особенно красиво


$ \ddot\varphi + \frac{g}{R}\sin\varphi = 0$


$\varphi $ - угловое перемещение (угол "видимости" ) стержня относительно (из) центра трубы (от положения равновесия, есессно)

(завтра еще проверю - не напорол ли гденть, на ночь глядя - бывает )

(Без помощи г-на Лагранжа не обошлось, вечная ему память.... )

[Tiger-OZ]

Антипка писал(а):

Интеграл движения можно получить из законов сохранения - энергии и импульса:

$ \frac{m}{2}R^2 \dot \varphi ^2 (1 - \frac{m}{{m + M}}\cos ^2 \varphi ) = mgR(\cos \varphi )$

$\varphi$ - угловое положение груза относительно центра трубы.

Абсолютно верно. В случае m<<M (труба неподвижна) решение выражается через гипергеометрические функции

\[ \sqrt {\frac{{2g}} {R}} t = \frac{x} {R}{}_2F_1 (1/2,3/4;3/2;x^2 /R^2 ) - {}_2F_1 (1/2,3/4;3/2;1) \]

\[ x = \frac{{mR}} {{m + M}}\sin \varphi \]

В общем случае там вообще труба. Если это элементарные функции...

[zbl]

Tiger-OZ писал(а):

Если это элементарные функции...

Вот пристали все к элементарным функциям!
Ну, не элементарные там не-э-ле-мен-тар-ны-е!
Спутал с решением приближённого уравнения (которое было только интересно в реальной жизни).

[Михаил Дмитриев]

Негамильтон писал(а):

При $m=M$, похоже, будет особенно красиво

Вообще-то и предельные случаи рассмотреть не мешало бы.
Учитывая условия задачи (отсутствие трения между всеми объектами), можем сделать вывод о том, что вращаться вокруг продольной оси ни труба, ни стержень не будут.
Случай 1. м>>M (масса стержня много больше массы трубы).
Стержень падает вертикально вниз, совершенно игнорируя наличие трубы. Его дальнейшее поведение зависит от упругих свойств поверхностей трубы и опоры. Они или поглотят энергию падения без отдачи (стержень не подпрыгнет) или он совершит несколько (хотя бы одно) подпрыгиваний с затухающей амплитудой. Труба, под действием стержня, сдвинется (проскользит без вращения) влево на величину ее внутреннего радиуса.
Случай 2. M>>m (масса трубы много больше массы стержня).
Труба стоит на месте. Стержень скользит по поверхности трубы до положения 3 часа. Прямая аналогия маятника.
Поскольку наличие воздушной среды не оговорено- будем считать, что ее нет также, как и трения. Колебания в этом случае будут вечными. Но, если мы все же учтем наличие воздушной среды, колебания будут затухающими вследствие сопротивления воздуха движению стержня.

Все остальные случаи, при других соотношениях масс трубы и стержня, будут являться промежуточными между 1 и 2. Представить их (объектов) движение в этих случаях уже не составит никаких затруднений.
Желаю всем успехов.