Вычислить определитель

[Anton2010]

Нужно вычислить определитель:
$\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1& \ldots &1 \\ 1&{{a_1}}&0& \ldots &0 \\ 1&0&{{a_2}}& \ldots &0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1&0&0& \ldots &{{a_n}} \end{array}} \right|\,\]$
Есть мнение что он равен $\[{\left( { - 1} \right)^{k + 2}}{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}...{a_n}\]$.
Верно ли это?Спасибо.

[ИСН]

Вам к колдуну, который умеет считать небольшие определители руками. Общую формулу он, может, и не выведет, но проверить эту - сможет.

[мат-ламер]

А чего-то $a_k$ пропало в результате. Чем оно хуже других $a_i$ ?

-- Ср июн 08, 2011 21:42:25 --

В решении наверное пропал знак суммы.

[ean]

По-моему надо просто два раза в лоб разложить, а упомянутая формула - похожа на одну из сумм.

[blondinko]

мат-ламер в сообщении #455821 писал(а):

В решении наверное пропал знак суммы.

Согласен.
И, ещё: $(-1)^{k+2} = (-1)^k(-1)^2 = (-1)^k.$

[KirS]

А как у вас в решении получается множитель $(-1)^{k}$?

[jetyb]

$a_1+a_2+\ldots+a_n=n$
$b+a_1=0$
$b+a_2=0$
$\ldots\ldots\ldots$
$b+a_n=0$

Вас не наводит ни на какие мысли эта СЛУ?

И кстати откуда вообще взялось в предполагаемом ответе $k$?

[vlad_light]

Я разложил по первой строке, получил $n$ определителей порядка $n$, в которых:
1) Элементы $a_{i,i+1}=a_i, i=\overline{1,k-1}$, где $k=\overline{1,n}$ - номер определителя после разложения по первой строке.
2) Элементы $a_{i,i}=a_i, i=\overline{k+1,n}$
3) Элементы $a_{k,1}=1$
4) Все остальные элементы равны нулю.
Возле $k$-ого определителя стоит знак $(-1)^k$.
Для чётного $k$ требуется нечётное количество перестановок, чтобы привести определитель к диагональному виду. Для нечётных $k$ - требуется чётное количество перестановок. Таким образом у нас получится $n$ диагональных определителей со знаками "-". $k$-ый определитель равен $a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_{k-1}\cdot a_{k+1}\cdot ...\cdot a_n, k=\overline{1,n}$
Таким образом, наш определитель равен:
$det(A)=-\sum\limits_{j=1}^n\prod\limits_{k=1,k\neq j}^n a_k$

(Оффтоп)

Помогите, пожалуйста, в теме http://dxdy.ru/topic46687.html буду весьма признателен!