Аксиоматическая информация в геометрии и физике

[Source]

Аксиоматика геометрии Евклида и Лобачевского отличаются 5-й аксиомой.
Эта аксиома у Лобачевского является фактически отрицанием аксиомы Евклида:
[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского[/url]
В результате такого изменения аксиоматики, в геометрии Лобачевского появляется
константа (кривизна пространства), которой не было в геометрии Евклида.
Её значение не может быть определено из аксиом и является произвольным
(нулевая кривизна соответствует геометрии Евклида).

Очень похожая ситуация в физике, где отказ от абсолютности времени
(отрицание того, что время едино для всех инерциальных наблюдателей)
приводит к теории относительности. В этой теории также появляется константа
(равная скорости света), предельное значение которой даёт классическую механику.
Подробности: http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf.

В связи с этим 2 вопроса:

1. Бойяи строил "идеальную геометрию", не зависящую от 5-той аксиомы.
На сколько далеко на этом пути можно пройти в геометрии?
Другими словами, какие теоремы геометрии Лобачевского нельзя доказать,
если вместо отрицания 5-й аксиомы Евклида вообще ею не пользоваться?

2. Интуитивно понятно, что существуют "сильные" и "слабые" исходные положения.
Из первых можно получить много следствий из вторых не очень много.
Существуют ли работы по формализации понятия содержательной аксиоматической информации?
Т.е. можно ли численно измерить степень того, что данная аксиома является "сильной"?

[Kallikanzarid]

Source
Ссылки на внешние сайты запрещены.

[hurtsy]

Source в сообщении #455058 писал(а):

Эта аксиома у Лобачевского является фактически отрицанием аксиомы Евклида:

1. У Вас фактическое отрицание - категория юридическая
2. Если добавить для сравнения геометрию Римана, какие будут наблюдаться отрицания при попарно сравнении геометрий

Source в сообщении #455058 писал(а):

Интуитивно понятно, что существуют "сильные" и "слабые" исходные положения.
Из первых можно получить много следствий из вторых не очень много.

По Вашей иерархии выходит, что ложь самая сильная аксиома, ибо из нее следует всё.
Скажите, пожалуйста, от чего Вы больше удалены, от математики или от физики.

Больше вопросов не имею.

[Source]

Не совсем понял источник Вашей иронии.

Формулировки 5-того постулата:

• Евклид: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её."
• Лобачевский: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её."

Вы считаете, что $n\le 1$ и $n\ge 2$ не являются отрицанием друг друга в множестве натуральных чисел?

Причём тут риманова геометрия? Если на пространство не наложены достаточно сильные
требования симметрии (эрлангенская программа), то мы не можем использовать
аксиоматику подобную Евклиду или Лобачевскому.

Про иерархию и ложь я ничего не писал.
Речь идёт о непротиворечивой системе аксиом.
Некоторые из которых требуются при доказательствах часто, а некоторые редко.
Пример - 5-я аксиома Евклида и "идеальная геометрия" Бойяи, которая её не требует.

[hurtsy]

Source в сообщении #455551 писал(а):

Евклид: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её."

Вы утверждаете, что возможен случай что не пересекающей прямой не существует. Я такого не проходил и таких задач не решал. Такое возможно только в римановой геометрии. Разумеется 0 не натуральное число. Не понятно куда Вы ведете свою мысль. Это кратчайший путь в пургаторий.

[Source]

Я ни чего не утверждаю, а лишь задал в своём первом посте 2 вопроса,
ответы на которые хотел услышать от специалистов по аксиоматике вообще и геометрии, в частности.

Касательно Вашего недоумения по поводу формулировки 5-й аксиомы,
так она общеизвестна. Откройте Гильберта (Основания геометрии) или хотя бы википедию.
Естественно в евклидовой геометрии существует 1 и только 1 прямая, параллельная
данной и проходящая через фиксированную точку. Но с точки зрения аксиоматики
этот факт устанавливается из более слабого утверждения "проходит не более одной прямой"
и остальных аксиом.

Является ли 0 натуральным числом - вопрос определения.
Есть авторы которые считают, что да. Другие - нет. К чему это?

А пугаторий, это, конечно, аргумент :).

[Chifu]

Source в сообщении #455598 писал(а):

А пугаторий, это, конечно, аргумент :).

Вы путаете формальную логику с физикой. Дедуктивную систему можно пытаться наложить на физику с целью создания непротиворичивой системы с разным успехом, но ни одна физическая теория не является полностью дедуктивной. "Мощность" аксиом зависит от "мощности" содержательной теории. Если теория проработана глубоко, то дедуктивный вывод простирается далеко. Евклид ввёл "5-ю аксиому" из физических соображений, чтобы сделать геометрию содержательной, но математики заметили что эта аксиома лишняя и получили из оставшихся аксиом неевклидову геометрию, осталось найти ей содержание и оно было найдено физиками. Интуиция математика как раз и заключается в нахождении наиболее удобной математической структуры для описания физических объектов. Чем более глубже будете изучать физический объект, тем более плодотворными окажутся используемые при этом математические структуры. Содержание придаёт формальным структурам смысл, а формальные структуры дают описанию непротиворечивость.

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #455484 писал(а):

от чего Вы больше удалены, от математики или от физики.

Bcё таки , Вам ближе физика. С уважением,

[Source]

Chifu в сообщении #455736 писал(а):

Вы путаете формальную логику с физикой. <...> ни одна физическая теория не является полностью дедуктивной.

В целом Вы правы и физики редко доводят формализацию своих теорий до уровня формальной логики.
Но это не означает, что это нельзя сделать. Существуют изложения различных разделов физики
на достаточно формальном уровне, например, на языке исчисления предикатов.
Эта деятельность не очень популярна, т.к. новых физических результатов не даёт. Но ею занимаются.

Поэтому пропасти в формализации между математическими структурами и физическими нет.
Та же геометрия, как Вы верно пишете, во времена Евклида фактически была физической теорией,
а её аксиоматика - неформальной (хотя долго считалась вершиной сторогости).
Формально аксиоматический (не образный) статус она получила только после работ Гильберта.

Chifu в сообщении #455736 писал(а):

математики заметили что эта аксиома лишняя и получили из оставшихся аксиом неевклидову геометрию

Наверно, всё же не лишней, а не зависимой от остальных.
Хотя, собственно, в этом и состоял мой первый вопрос. Дело в том, что встречается мнение (например, Википедия):

Цитата:

Поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.

--------------------------------------------------------

Я попробую чуть пояснить происхождение моих вопросов и проблемы в целом.
В теории относительности (СТО) стандартная аксиоматика восходит к Эйнштейну.
Она состоит в добавлении к принципу относительности (справедливому в классической механике)
"2-го постулата" Эйнштейна о постоянстве скорости света для всех наблюдателей.
Из этих двух постулатов (="аксиом") и ряда других правдоподобных допущений получаются
преобразования Лоренца - основа теории.

Спустя 5 лет после Эйнштейна было показано (Игнатовский, Франк, Роте), что преобразования Лоренца
можно получить без "2-го постулата", на основе утверждений, справедливых и в классической механике.
При этом необходимо отказаться от постулата об абсолютности времени (или заменить его отрицанием).
В результате уменьшения исходных аксиом в теории появляется фундаментальная константа
максимально возможной скорости, значение которой не определяется теоретически (только экспериментально).
Если добавить аксиому абсолютности времени значение константы фиксируется (бесконечность)
и снова получается классическая механика.

Аналогия между СТО и геометрией Лобачевского достаточно глубокая.
Например, пространство скоростей СТО имеет геометрию Лобачевского.
Кроме этого в обоих структурах возникают произвольные константы
в результате уменьшения числа аксиом (или их ослабления при замене на их отрицание).

Возникает ощущение (пока очень не формализуемое), что появление не определяемых в рамках
аксиом параметров (фундаментальная скорость в СТО, кривизна в геометрии Лобачевского)
связано с потерей некоторой "аксиоматической информации" при переходе от одной системы аксиом к другой.
Речь идёт не об информации кодирования (a la Шеннон), а о "содержательной", "смысловой" информации.

"Отказались" от аксиомы - получили неполноту. Но некоторые аксиомы "содержат" так мало информации,
что эта неполнота оказывается параметрической. Т.е. все утверждения (формулы) теории выводятся,
но с точностью до неопределённых констант.

Я не извиняюсь за множество кавычек, так как мой второй вопрос и относился к возможности
формализации подобных нестрогих рассуждений.

[Kallikanzarid]

Chifu
А где-то шла речь про физику?

[hurtsy]

Kallikanzarid в сообщении #455890 писал(а):

Chifu
А где-то шла речь про физику?

В названии темы и

Source в сообщении #455058 писал(а):

Очень похожая ситуация в физике, где отказ от абсолютности времени
(отрицание того, что время едино для всех инерциальных наблюдателей)
приводит к теории относительности.

С уважением,

[arseniiv]

(Оффтоп)

Source в сообщении #455551 писал(а):

5-того

Лучше бы написали «5-ятого». Так, по крайней мере, уж точно понятно, что имелось ввиду. Большинство людей вместе со мной наивно полагают, что для понимания достаточно всего лишь «5-го».

[man]

Source в сообщении #455058 писал(а):

Т.е. можно ли численно измерить степень того, что данная аксиома является "сильной"?

Вот самые очевидные проблемы:
п.0. Предположим, рассматриваются множества утверждений элементарной системы (правильно построенных формул) и выделяется подмножество доказуемых формул.
п.1 Первая проблема - эти множества минимум счетно-бесконечны;
п.2 Независимая аксиома (например, утверждающая что-то о параллельных) увеличивает множество доказуемых утверждений, но мощность множеств доказуемых утверждений остается счетно бесконечной;
п.3 Разные доказуемые формулы часто выражают одно и то же, например, $2+1, 7-4, 3$, "информационная" эквивалентность доказуемых утверждений не должна зависеть от количества способов записать одно и тоже, поэтому п.0 несостоятелен;

[Source]

man в сообщении #456562 писал(а):

Вот самые очевидные проблемы:

Я бы добавил проблему неразрешимости.
Для большинства содержательных теорий мы не можем построить алгоритм, который относил бы
любую правильно построенную формулу к множеству доказываемых формул (теорем).

А в чём проблема того, что множества счётно-бесконечны? К слову, и минимум, и максимум :)
Не совсем ясно последнее заключение о несостоятельности п.0. Не поясните?

[man]

Source в сообщении #456708 писал(а):

А в чём проблема того, что множества счётно-бесконечны?

С их упорядочением в разных системах аксиом.

Source в сообщении #456708 писал(а):

Не совсем ясно последнее заключение о несостоятельности п.0. Не поясните?

Проблема эквивалентности пары произвольных доказуемых утверждений. Почему, за аксиому принимают "аксиому параллельных", а не некоторое выводимое с использованием этой аксиомы утверждение, например о сумме углов треугольника ?