Метрика

[vlad_light]

Сферическая метрика задаётся уравнением:
$\rho (z)=\frac{2}{1+|z|^2}, z\in\mathbb C$
Доказать, что преобразование
$\phi (z)=\frac{z-a}{1+\overline az}$
является изометрией для данной метрики.

Делаю так:
Преобразование является изометрией, если $\rho (\phi (z))=\rho (z)$.
Подставим:
$\frac{2}{1+|\frac{z-a}{1+\overline az}|^2}=\frac{2}{1+|z|^2}$
$|\frac{z-a}{1+\overline az}|^2=|z|^2$
$|\frac{z-a}{1+\overline az}|=|z|$
Подскажите, как дальше делать. Спасибо!

[Gortaur]

(Оффтоп)

А я думал, что метрика - это функция от двух аргументов. Или на сфере не так?

[vlad_light]

(Оффтоп)

Я тоже так думал, пока не увидел такое задание. Мне кажется, что одной переменной хватит:)

[Gortaur]

Для $z=100,a = 1$ не верно тогда последнее равенство.

[vlad_light]

Тут ещё одна задачка с преобразованием $f(z)=ze^{ia}$
Подставляя:
$\frac{2}{1+|ze^{ia}|^2}=\frac{2}{1+|z|^2|e^{ia}|^2}=\frac{2}{1+|z|^2}$
Т.е. изометрия. Правильно?

[Gortaur]

Скажем так, если $\rho(z_1,z_2) = \frac{2}{1+|z_1-z_2|^2}$ - то поворот является изометрией. С первой-то задачей что?

[vlad_light]

Понятия не имею! В задании написано:

Цитата:

Show by the direct computation that the fractional-linear transformations
$\phi (z)=\frac{z-a}{1+\overline az}$,
together with rotations $R_\alpha (z)=ze^{i\alpha}$ are isometries of the spherical metric
$\sigma (z)=\frac{2}{1+|z|^2}$ on $\mathbb C$

Учебника у меня нету. Задание из какого-то зарубежного ВУЗа. Я сам не понимаю, почему метрика у них от одной переменной задаётся.
Там ещё есть одно задание, к нему я ещё не приступал (а доделать надо сегодня ):

Цитата:

Let $\Omega\subset \mathbb C$ be a bounded domain which contains zero. Show that the metric $\mu (z)=e^{K|z|^2}$ has curvature less than or equal to -4 for all $z\in\Omega$, for a suitable choice of the constant K. Use this fact to show that for any holomorphic map $f:D\to\Omega$ whose domain is the Poincare disc, such that $f(0)=0$, we have
$d_\mu (0,f(z))\leq\frac{1}{2}\log(\frac{1+|z|}{1-|z|})$

Помогите, пожалуйста! Очень срочно нужно
Конкретно не знаю:
1. Как найти кривизну метрики.
2. С чего начать выполнение задания.
3. Увидел знакомое выражение: $\frac{1}{2}\log(\frac{1+|z|}{1-|z|})=\int\limits_0^z \frac{ds}{1-s^2}$. Пригодится ли это здесь?

[Gortaur]

Если брать отсюда, то метрика здесь через Финслерову задается, т.е. нужно брать инфимумы по всевозможным путям от одной точки к другой, где длина пути как раз и определяется через Вашу $\rho$. Могу ошибаться.

[vlad_light]

Спасибо! А не подскажие, как найти $\gamma (t)$ которая соединяет точки $\frac{i}{2}$ и $\frac{2}{17}(3+5i)$?

[Gortaur]

Да их много. Может, стоит попробовать показать, что для любой кривой значение интеграла не меняется?

[vlad_light]

Хотя бы одну нужно, я так понял В задании сказано найти distance-minimizing path $\gamma (t)$, а потом посчитать расстояние Пуанкаре между точками.
Расскажите, пожалуйста, потому что мы данную тему ещё не проходили, а я рискую остаться без зарплаты, если не сделаю

[vlad_light]

По поводу задачи

Цитата:

Let $\Omega\subset \mathbb C$ be a bounded domain which contains zero. Show that the metric $\mu (z)=e^{K|z|^2}$ has curvature less than or equal to -4 for all $z\in\Omega$, for a suitable choice of the constant $K$. Use this fact to show that for any holomorphic map $f:D\to\Omega$ whose domain is the Poincare disc, such that $f(0)=0$, we have
$d_\mu (0,f(z))\leq\frac{1}{2}\log(\frac{1+|z|}{1-|z|})$

есть какие-то идеи? Подскажите, с чего начать.