Тригонометрия: привести к одному углу

[PPrivett]

избавиться от лишних переменных, оставив лишь один угол($\alpha_n$, $n$ - любое 1, 2 или 3), $y$ и $d$. Еще можно оставить $h$ ($h=kd$, где $k$ задано)
$\dfrac {y^2} {\sin^2 \alpha_1}=\dfrac {y^2} {\sin^2 \alpha_2}+d^2-\dfrac {2yd\cos\alpha_2} {\sin \alpha_2}$
$\dfrac {y^2} {\sin^2 \alpha_2}=\dfrac {y^2} {\sin^2 \alpha_1}+d^2+\dfrac {2yd\cos\alpha_1} {\sin \alpha_1}$
$\dfrac{\sin^2 \alpha_1} {y} - \dfrac{\sin^2 \alpha_2} {y} - \dfrac{2\sin^2 \alpha_3} {y+h} = 0$
$\dfrac{\sin \alpha_1\cos \alpha_1} {y} - \dfrac{\sin \alpha_2\cos \alpha_2} {y} - \dfrac{2\sin \alpha_3\cos\alpha_3} {y+h} = 0$

-- Пн июн 06, 2011 23:20:38 --

т.е. в результате мне нужно уравнение с $y$, $d$(или $h$ и $d$), и каким-нибудь $\alpha$

[AKM]

Тригонометрическая часть всех Ваших формул легко выражается через только тангенсы углов (вместо и синусов, и косинусов). Это видно из того, что они переписываются в терминах двойных углов ($2\alpha_1,2\alpha_2,2\alpha_3$). Потом через формулу половинного угла $\left(\sin2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha},\;\cos2\alpha=\dfrac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}\right)$.
Чисто алгебраически исключая из ЧЕТЫРЁХ уравнений эти три тангенса, получаем ОДНО уравнение в виде $F(y,h,d)=0$, что, очевидно, сведётся к $G(y/d,h/d)=0$, функции двух переменных (потому что это можно тоже сделать сразу).

-- 07 июн 2011, 01:34 --

А если $h/d=k$ задано, то к функции одной переменной. К одному уравнению с одним неизвестным.

[PPrivett]

записал в тангенсах, но как исключить не понял

[AKM]

Вручную это теперь мало кто делает. У Вас нет приручённых матпакетов?
Проверил, Wolframalpha это умеет делать. Пример ввода: resultant(ax^2+b, cx^3+d,x);
Запишите в виде полиномов в обозначениях типа $u=\tg\alpha_1,\,v=\tg\alpha_2,\,w=\tg\alpha_3$ и по одному исключайте (наверное, можно как-то загнать все 4 уравнения и потребовать исключить 3 неизвестных, но я не знаю, как это делается).
Если непонятно, то спрашивайте дальше. Кто-нибудь Вам поможет. Я бы мог Вам это проделать, но дома, т.е. не скоро.

[PPrivett]

обозначил тангенсы $a, b, c. $ Т.е тангенсы неизвестны, $y$ неизвестен тоже, $d$ и $k$ заданы, $h=dk$
(1) $\frac {y^2(1+a^2)} {a^2} = \frac {y^2(1+b^2)} {b^2} + d^2 - \frac {2yd} {b}$
(2) $\frac {y^2(1+b^2)} {b^2} = \frac {y^2(1+a^2)} {a^2} + d^2 + \frac {2yd} {a}$
(3) $\frac {a}{y(1+a^2)} - \frac {b}{y(1+b^2)} - \frac {2c}{(1+c^2)(y+h)} = 0$
(4) $\frac {a^2}{y(1+a^2)} - \frac {b^2}{y(1+b^2)} - \frac {2c^2}{(1+c^2)(y+h)} = 0$
(3), (4) - перенес слагаемые с $c$ вправо, разделил (3) на (4), получил $c=\frac {a+b} {1-ab}$
подставил $c$ в (4), получил $\frac {a-b} {a+b} = \frac {2y} {y+h}$
То есть (3) и (4) дает $\frac {a-b} {a+b} = \frac {2y} {y+h}$
из (1), (2) (если сложить): $\frac {a-b} {ab} = \frac d y$
на этом пока остановился.

[AKM]

Приступая к исключению a,b,c, надо всё поприводить к общему знаменателю, с нулём в правой части, и оставить только числители. У Вас будут 4 полинома типа $P(a,b,c;\,y,h)=0$.
Вручную, конечно, громоздко.

Да, вижу, цэ Вы уже исключили вручную. У Вас осталось 3 уравнения (1), (2) и $(a-b)(y+h)-2y(a+b)=0$ с двумя неизвестными.

-- 08 июн 2011, 12:04 --

PPrivett в сообщении #455573 писал(а):

То есть (3) и (4) дает $\frac {a-b} {a+b} = \frac {2y} {y+h}$
из (1), (2) (если сложить): $\frac {a-b} {ab} = \frac d y$
на этом пока остановился.

Так $a$ и $b$ надо находить явно.

-- 08 июн 2011, 12:12 --

Ну да, всё не так страшно и громоздко, если внимательно посмотреть на уравнения. Я поначалу лишь "общий вид" воспринял.

[PPrivett]

(3) и (4) дают $b= \frac {a(h-y)} {h+3y}$
складываю (1) и (2):$ \frac {a-b} {ab} = \frac d y$ (5)
Если подставить b в (5), получится. $a= \frac {4y^2}{d(h-y)}$ Этого достаточно для решения задачи (+проверить частные случаи типа $h \ne 3y$). Кто-нибудь может проверить результат?

[Алексей К.]

PPrivett в сообщении #455573 писал(а):

получил $c=\frac {a+b} {1-ab}$

Т.е. $\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$. Может, это и так было известно?

[PPrivett]

Алексей К. в сообщении #455593 писал(а):

PPrivett в сообщении #455573 писал(а):

получил $c=\frac {a+b} {1-ab}$

Т.е. $\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$. Может, это и так было известно?

(Оффтоп)

Вряд ли

[Алексей К.]

PPrivett в сообщении #455595 писал(а):

Вряд ли

Значит, теперь это стало известно.

[PPrivett]

(1)-(2) и подставить a, b...
$y=\frac{h(7h-1)}{5h-1} $
(Нужна проверка.)

[AKM]

Что-то я либо туплю, либо...
Первые два уравнения у меня превратились в

$$\begin{array}{l} \left(y-\dfrac{ab}{a-b}\right) \left(y-\dfrac{ab}{a+b}\right)=0,\\[10pt] \left(y-\dfrac{ab}{a-b}\right) \left(y+\dfrac{ab}{a+b}\right)=0 \end{array}$$

($d=1$). Надо телик посмотреть, чего-нибудь тупое-тупое, клин-клином...

[Алексей К.]

Так вроде не противоречит последним уравнениям автора (1) и (2).

PPrivett в сообщении #455573 писал(а):

(3) $\frac {a}{y(1+a^2)} - \frac {b}{y(1+b^2)} - \frac {2c}{(1+c^2)(y+h)} = 0$
(4) $\frac {a^2}{y(1+a^2)} - \frac {b^2}{y(1+b^2)} - \frac {2c^2}{(1+c^2)(y+h)} = 0$

Исключение $c$ из этих уравнений даёт

$$y(a+3b)-h(a-b)=0.$$

PPrivett, подтверждаете? Или детализируйте свой вывод.

[PPrivett]

Алексей К. в сообщении #455946 писал(а):

Исключение $c$ из этих уравнений даёт

$$y(a+3b)-h(a-b)=0.$$

PPrivett, подтверждаете? Или детализируйте свой вывод.

PPrivett в сообщении #455584 писал(а):

(3) и (4) дают $b= \frac {a(h-y)} {h+3y}$

Одно и тоже

-- Чт июн 09, 2011 08:37:09 --

(3) и (4) :
$c=\frac {a+b} {1-ab}$
$b= \frac {a(h-y)} {h+3y}$
$a= \frac {b(h+3y)} {h-y}$
Складываю (1) и (2):
$ \frac {a-b} {ab} = \frac d y$
Подставляю $b= \frac {a(h-y)} {h+3y}$
Получаю $a= \frac {4y^2}{d(h-y)}$
Тогда
$b= \frac {a(h-y)} {h+3y}=\frac {4y^2}{d(h+3y)}$
Вычитаю (1) из (2) и подставляю найденные a(y,h) и b(y,h)
$y=\frac{h(7h-1)}{5h-1} $

(Оффтоп)

y вроде бы найдено. но если подставлять
$a= \frac {4y^2}{d(h-y)}$
$b=\frac {4y^2}{d(h+3y)}$
В (1) и (2) по отдельности, у меня получилось 2 разных квадратных уравнения.

[Алексей К.]

Да, уже заметил. Только уравнения (1) и (2), превращаются в одно, $y=\dfrac{ab}{a-b}$ (альтернатива $ab=0, y=0$ неинтересна, наверное). Хоть складывай их, хоть вычитай.
Второе уравнение, из (3),(4), $\dfrac{b}a=\dfrac{h-y}{3y+h}$. Вывод $a=\dfrac{4y^2}{h-y}$ — их следствие. Я не вижу способа получить из них Ваш окончательный результат. Скорее всего,

PPrivett в сообщении #455673 писал(а):

(1)-(2) и подставить a, b...
$y=\frac{h(7h-1)}{5h-1} $

делая (1)-(2), Вы где-то множитель ноль сократили.

Вы много дописали, я пока не прочитал, писал своё.