Инвариантные множества СДУ

[Sinus]

Подскажите, пожалуйста, где можно прочитать об инвариантных множествах стохастических дифференциальных уравнений (в частности, необходимые и достаточные условия инвариантности)?

[Хорхе]

Думаю, особенных результатов нет, немного смысла. Вот есть уравнение многообразия, подозрительного на инвариантность: $F(x)=0$. Соответственно, инвариантным оно будет, если $dF(X_t)=0$. Считаете по формуле Ито и получаете свои необходимые и достаточные условия.

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что стандартные теоремы о существовании атрактора должны как-то переноситься на стохастический случай

[Хорхе]

Мне казалось, вопрос был об инвариантном множестве, а не об аттракторе? О стохастических аттракторах действительно есть содержательные результаты, их легко нагуглить. Более того, там могут возникать более интересные эффекты, чем в детерминированном слуае. А вопрос об инвариантных множествах -- это упражнение по курсу теории случайных процессов (некоторые, впрочем, пишут и такие статьи).

[Oleg Zubelevich]

Хорхе в сообщении #455453 писал(а):

Мне казалось, вопрос был об инвариантном множестве, а не об аттракторе?

а разве атрактор не является инвариантным множеством?

[Хорхе]

А разве инвариантное множество является аттрактором?

[Sinus]

Хорхе в сообщении #455453 писал(а):

...
А вопрос об инвариантных множествах -- это упражнение по курсу теории случайных процессов (некоторые, впрочем, пишут и такие статьи).

А у вас нет ссылок на учебники, монографии или статьи, в которых используется это понятие?

[Oleg Zubelevich]

Вот про стохастические уравнения не скажу, а что касается инвариантных множеств в детерминированных динамических системах. Инвариантные множества также разнообразны, как и динамика. И природа у них совершенно разная. За исключением каких-то тривиальных фактов Вы не найдете общих теорем о существовании инвариантных множеств. Нетривиальных инвариантных множеств (по модулю 0) нет, например, в эргодических системах . Установить эргодичность в конкретной системе - задача небанальная, и возникать эргодичность может очень разными способами. Даже существование инвариантных многообразий может оказаться очень глубоким фактом см КАМ теория

[Хорхе]

ВНЕЗАПНО вышел на эту тематику. Вообще я был неправ: иногда получаются довольно содержательные результаты. Дело в том, что инвариантное множество не обязательно является гладким многообразием. Тут есть довольно много хороших результатов, практически критериев. Ключевой автор -- Anna Milian, почитайте ее статьи.

[Gortaur]

Хорхе
А для дискретного случая там хороших результатов/практически критериев не было?

-- Чт июл 28, 2011 10:36:16 --

Sinus
Думаю, что Вы говорит о Марковских процессах, т.к. у других сложно представить себе фазовое пространство и инвариантные множества. По крайней мере в дискретном времени название может быть absorbing sets, а не invariant sets. Это так, если столкнетесь. В дискретном случае критерий инвариантности довольно сложно найти потому что динамика может быть какой угодно, я думал что в случае диффузий в непрерывном времени должно быть попроще - и на границе такого множества сигма должна обращаться в ноль.

-- Чт июл 28, 2011 10:54:00 --

Хорхе в сообщении #455340 писал(а):

Вот есть уравнение многообразия, подозрительного на инвариантность: $F(x)=0$. Соответственно, инвариантным оно будет, если $dF(X_t)=0$. Считаете по формуле Ито и получаете свои необходимые и достаточные условия.

Не сильно внушает доверие.

[Gortaur]

Хорхе
Кстати, помните мы обсуждали условия для диффузий либо достигать множества в любое конечное время, либо вообще никогда. Новых идей не было за эти полгода?

[Хорхе]

Нет, честно говоря, я и обсуждения-то не помню.