Теория Случайных Процессов - про случайную величину

[Nival]

Имеем стахостический базис: $(\Omega,F_t,F,P)$
Момент времени $ t\in R^+ $ непрерывный.$\mathcal{8} s,t: s\leqslant t$ верно: $F_0\subseteq F_s\subseteq F_t\subset F_{\mathcal{1}}=F$
P - вероятностная мера заданная на F.
Теперь к сути вопроса:
имеем случайную величину $\tau$ : $\Omega\rightarrow R^+$ ($R^+$ - правая полуось действительной прямой).

Вопрос: почему множество $\{w\in \Omega: \tau(w)< t \}\in F_t$ принадлежит-таки нашей фильтрации $F_t$?

[Gortaur]

Ага, марковский момент? Скажем, Вы написали вопрос "почему $x\in B$ принадлежит $B$"? Вообще, произвольная такая случайная величина не должна удовлетворять такому свойству. Выражение

$$ A\in \mathcal{F}_t $$

значит, что в момент времени $t$ (и после него, конечно) мы можем точно сказать, произошло ли $A$ или еще нет. Без всяких вероятностей. Мы будем знать точно.

Например, $\tau$ - первое время, когда броуновское движение пересечет линию $y = 1$. Тогда наблюдая за броуновским движением мы можем в каждый момент времени уверенно сказать, произошло пересечение или нет.

Другое дело, если $\tau$ - момент, когда броуновское движение достигнет своего максимума. Тогда в любой момент времени мы не можем сказать, достигло ли оно уже максимума или нет - мы же не знаем, что будем потом.

[Nival]

Ага-ага, марковский момент.
На лекции нам доказывали достаточное условие, при котором случайная величина, определённая лишь так : $\tau$ : $\Omega\rightarrow R^+$, является марковским моментом. Все что нужно, чтобы фильтрация была непрерывна справа. Но в самом начале доказательства принимается как данное, что $\{w\in \Omega: \tau(w)< t \}\in F_t$. Я спрашивал у Лектора, почему так, он ответил что это из-за конфигурации нашей фильтрации. Я ничего не понял. Имеется ввиду что мы рассматриваем ТОЛЬКО такие случайные величины, которые удовлетворяют $\{w\in \Omega: \tau(w)< t \}\in F_t$, или конфигурация фильтрации которую я описал позволяет говорить так о всех случайных величинах?
Может в случае вашего броуновского движения фильтрация иная?
А может я не совсем понимаю "сути" это самой фильтрации....

[Gortaur]

Определение марковского процесса: $\{\tau \leq t\} \in \mathcal{F}_t$. Не думаю, что это как-то можно обойти какими-то нетривиальными достаточными условиями. С другой стороны, непрерывность фильтрации играет роль, если рассмотреть величину такую, что $\{\tau < t\} \in \mathcal{F}_t$ и доказать, что она марковская.

[Nival]

Именно это и постулируется в доказательстве как данное, как же это доказать? На что следует обратить внимание?
$\{w\in \Omega : \tau(w)<t\}\in F_t$. Всё, чем мы располагаем это случайной величиной
$\tau : \Omega \rightarrow R^+$, которая определена на $\sigma$-алгебре F, с вероятностной мерой P и непрерывной справа фильтрацией $F_t$.
Как вообще связана с фильтрацией случайная величина?

[Gortaur]

Если это все, что известно о $\tau$, то никак, разумеется. Она не обязана быть марковской. Возьмите непрерывный процесс, который начинается с нуля, и растет или убывает линейно на каждом интервале $(n,n+1)$, а в точках $n$ меняет (или не меняет) угол наклона. Тогда момент его максимума на $[0,100]$ удовлетворяет Вашим условиям, но не является марковским относительно фильтрации данного процесса.

[Nival]

Так условие (1) $\{w\in\Omega : \tau(w)<t\}\in F_t$ на случайную величину $\tau$ и не говорит о том, что тау марковский момент, нам нужно показать что для любой случайной величины, заданной на данном стахостическом базисе, (1) - выполняется.
А уж то, что это марковский момент следует из непрерывности справа фильтрации ( достаточное условие которое нам говорили).

Чтобы бы прояснить сформулирую утверждение:

Для того, что бы случайная величина $\tau : \Omega \rightarrow R^+$, где $\Omega$ компонента нашего стахостического базиса $(\Omega,F_t,F,P)$, была марковским моментом, достаточно, что бы фильтрация $F_t$ была непрерывной справа.

В доказательстве с самого начала говорится: рассмотрим (1). У меня не записано почему это верно! Либо из каких-то соображений, о которых я не подозреваю, либо мы попросту говорим что $\tau$ рассматриваются только такие, которые удовлетворяют (1).
Вот в чём вопрос.

[Gortaur]

Nival в сообщении #455217 писал(а):

Для того, что бы случайная величина $\tau : \Omega \rightarrow R^+$, где $\Omega$ компонента нашего стахостического базиса $(\Omega,F_t,F,P)$, была марковским моментом, достаточно, что бы фильтрация $F_t$ была непрерывной справа.

Я построил Вам пример, когда это не так. Значит, нужно рассматривать лишь только с.в., которые удовлетворяют (1).

[Nival]

Тогда нет вопросов. Остаётся понять ваш контрпример.
Насколько я понял, момент максимума запишется как-то так:
$\tau=\{t>0 : X_t >=X_s \mathcal{8} s\in[0,100]\}$
почему $\{\tau\leqslant t}\}\notin F_t$?
как в вашем примере вообще устроена фильтрация?
Просто у нас не было никаких примеров на эту тему...
Представление у меня о фильтрации весьма смутное

[Gortaur]

Ок, фильтрацию лучше понимать на следующем примере. Пусть у нас есть $\mathbb{R}^n$ и некоторая точка $x$ там. Мы хотим узнать, что это за точка такая и начинаем делать ее измерения. Каждое измерение назовем $g_i(x)$, это будет некоторое число. После первого измерения мы будем лишь знать, на какой линии уровня функции $g_1$ находится точка - но не будем знать точные координаты точки. Если $g_2$ независима от $g_1$, то второе измерение даст нам дополнительную информацию и т.д. В таком случае $\mathcal{F}_1$ образована множествами уровня $g_1$, $\mathcal{F}_2$ образована множествами уровня первых двух функций и т.д.

В Вашем случае ситуация еще сложнее, т.к. $\Omega$ -пространство непрерывных функций (скажем, если мы изучаем броуновское движение), бесконечномерное. Тогда наблюдая за процессом, Вы в каждый момент времени сужаете класс процессов, которые удовлетворяют данной начальной траектории.

То есть, грубо говоря, $\mathcal{F}_t$ - класс всех событий, которые связаны с траекторией до момента $t$. Событие "достижение максимума" зависит и от будующей траектории, поэтому не измеримо в текущей сигма-алгебре.

[Nival]

Спасибо за ответ! Ситуация стала яснее