Ранг множества матриц.

[RealistME]

Доброго времени суток.

И так, по существу:
Пусть M - множество матриц размерности $m \cdot\ $n над неким полем $K.

Нужно доказать, что $rank($M) = $m \cdot\ $n.
Понятно как доказать, что $rank($M) \ge $m \cdot\ $n. Как доказать $rank($M) \le $m \cdot\ $n?

Спасибо.

[mihailm]

RealistME в сообщении #454118 писал(а):

...
Понятно как доказать, что $rank(M) \ge $m\ \cdot $n
...

Как?

[RealistME]

mihailm в сообщении #454120 писал(а):

RealistME в сообщении #454118 писал(а):

...
Понятно как доказать, что $rank(M) \ge $m\ \cdot $n
...

Как?

Ну, например, можем привести хотя-бы $m\ \cdot $n линейно независимых матриц:
Матрицы у которых все элементы равны $0_{K}, и только один из них $e. Получили $m \cdot $n линейно независимых матриц.

Разве это как-то повлияет на Ваш ответ?

[mihailm]

А наверно дошло,
так эти матрицы у которых везде ноль а на одном месте один и образуют базис пространства матриц размера mxn.
ранг будет зависеть от M (или это все матрицы?) и всегда меньше mn

[RealistME]

mihailm в сообщении #454122 писал(а):

А наверно дошло,
так эти матрицы у которых везде ноль а на одном месте один и образуют базис пространства матриц размера mxn.
ранг будет зависеть от M (или это все матрицы?) и всегда меньше mn

А, собственно, почему их там не может быть $m$n +$1? В этом и проблема.

[ewert]

RealistME в сообщении #454118 писал(а):

Пусть M - множество матриц размерности $m \cdot\ $n над неким полем $K.

Нужно доказать, что $rank($M$)$

А что такое ранг множества?

[mihailm]

ewert в сообщении #454302 писал(а):

RealistME в сообщении #454118 писал(а):

Пусть M - множество матриц размерности $m \cdot\ $n над неким полем $K.

Нужно доказать, что $rank($M$)$

А что такое ранг множества?

Отвечу за ТС, с него...
так наверно количество элементов в базе (лин нез и все выражается)

[ewert]

mihailm в сообщении #454312 писал(а):

так наверно количество элементов в базе

А что такое база?

[mihailm]

написал же в скобках)

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #454328 писал(а):

написал же в скобках)

Да, но почему именно база, а не тубуретка?... Ведь очевидно же: тубуретка -- это именно та база, на которой сидишь. Ну или наоборот.

Если же вопрос не о базе и не о тубуретке, а о базисе -- то и ответ тривиален.

[mihailm]

ewert в сообщении #454399 писал(а):

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #454328 писал(а):

написал же в скобках)

Да, но почему именно база, а не тубуретка?... Ведь очевидно же: тубуретка -- это именно та база, на которой сидишь. Ну или наоборот.

Если же вопрос не о базе и не о тубуретке, а о базисе -- то и ответ тривиален.

(Оффтоп)

5 баллов за вдохновенную речь)

[RealistME]

ewert в сообщении #454302 писал(а):

RealistME в сообщении #454118 писал(а):

Пусть M - множество матриц размерности $m \cdot\ $n над неким полем $K.

Нужно доказать, что $rank($M$)$

А что такое ранг множества?

Максимально возможное количество лин. нез. элементов в данном множестве.

[ewert]

RealistME в сообщении #454761 писал(а):

Максимально возможное количество лин. нез. элементов в данном множестве.

Это называется не рангом, а размерностью.

[mihailm]

ewert в сообщении #455027 писал(а):

RealistME в сообщении #454761 писал(а):

Максимально возможное количество лин. нез. элементов в данном множестве.

Это называется не рангом, а размерностью.

Если множество не является лин пространством, то размерность не самое принятое название,
более часто применяется именно слово ранг, например ранг системы векторов

[ewert]

mihailm в сообщении #455038 писал(а):

например ранг системы векторов

Это если "система" конечна. Применительно же к линейному пространству или подпространству термин "ранг" неуместен.