Комплан

[vlad_light]

Пишу на оригинальном языке, дабы избежать неточностей при переводе:

Цитата:

Ahlfors' version of the Schwarz-Pick Lemma states that if $f:D\to D$ is a holomorphic function from the Poincare disk to itself, then $f^*\rho \leq \rho$.
In particular, $f$ is distance decreasing in the sense that the Poincare distance, for any two points $z_0,z_1\in D$, satisfies the inequality $d_\rho (f(z_0),f(z_1))\leq d_\rho (z_0,z_1)$.
Show that if $f(0)=0$ the above inequality implies $f(z)\leq |z|$ for all $z\in D$

Насколько я понял, если отображение сжимающее и равно нулю в нуле, тогда его образ содержится в круге радиуса z. С чего начать доказательство?
Спасибо за советы!

-- Сб июн 04, 2011 12:15:59 --

Неравенство $d_\rho (f(z_0),f(z_1))\leq d_\rho (z_0,z_1)$ эквивалентно
$\lvert \frac{f(z_1)-f(z_0)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_0)}\rvert\leq\lvert \frac{z_1-z_0}{1-\overline{z_1}z_0}\rvert$

[Полосин]

Похоже, речь идет о лемме Шварца (номера 3.156 и 3.157 из задачника Волковыского, Лунца, Арамановича). Воспользуйтесь принципом максимума модуля аналитической функции.
P.S. Разве не Ahlfors?

[vlad_light]

Спасибо! Следующая задачка:

Цитата:

Write down the formula for the distance-minimizing path $\gamma (t)$ which joins $z_0=\frac{i}{2}$ and $z_1=\frac{2}{17}(3+5i)$ inside the Poincare disc. Then compute the Poincare distance $d_\rho (z_0,z_1)$ between this points.

Насколько я понял, расстояние Пуанкаре считается по формуле:
$d_\rho (z_0,z_1)=\lvert \frac{z_1-z_0}{1-\overline{z_1}z_0}\rvert$
Получилось 0,5. Как найти $\gamma (t)$?
Спасибо!

[Полосин]

Ознакомьтесь с разделом "Модель Пуанкаре" (например, в википедии).

[vlad_light]

Нашёл такое:

Цитата:

If $u$ and $v$ are two vectors in real $n$-dimensional vector space $\mathbb R^n$ with the usual Euclidean norm, both of which have norm less than 1, then we may define an isometric invariant by
$\delta (u,v)=2\frac{\|u-v\|^2}{(1-\|u\|^2)(1-\|v\|^2)}$
where $\|\cdot\|$ denotes the usual Euclidean norm. Then the distance function is
$d(u,v)=\mathrm{arccosh}(1+\delta (u,v))$.

В нашем случае можно вместо нормы писать модуль. Длинна каждого вектора меньше 1.
Про distance-minimizing path $\gamma (t)$ в вики не написано. Если не сложно, скиньте, пожалуйста, источник и проверьте правильность написанного мной. Спасибо!

[vlad_light]

Помогите, пожалуйста, с предыдущей задачей. Нужно очень срочно.
Вот ещё одна задачка:

Цитата:

Show by the direct computation that the fractional-linear transformations
$\phi (z)=\frac{z-a}{1+\overline az}$,
together with rotations $R_\alpha (z)=ze^{i\alpha}$ are isometries of the spherical metric
$\sigma (z)=\frac{2}{1+|z|^2}$ on $\mathbb C$

Для поворотов делал так:
$\sigma (R_\alpha (z))=\frac{2}{1+|ze^{i\alpha}|^2}=\frac{2}{1+|z|^2|e^{2i\alpha}|}=\frac{2}{1+|z|^2\cdot 1}=\sigma (z)$
Правильно?
Если да, то подскажите, как дробно-линейное крутить. Спасибо!

[vlad_light]

Пожалуйста, подскажите, как дробно-линейное преобразовывать. И правильно ли я понимаю, что изометрия - это $\sigma (f(z))=\sigma (z)$, где $\sigma$ - метрика?