Лин. подпостранстово, базис, размерность.

[p4elka1986]

Приветствую еще раз

Помогите разобраться:

Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные подпространства и найти их базис и размерность:
Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0.


Записываю: $M = \{x_1, 0, x_3, 0,..., 0, x_n / x_{n2} = 0, x_i \in $\mathbb R$\}$
$M\subset$\mathbb R^n$$
Нужно сначала проверить:
1. замкнутость сложения
2. Замкнутость умножения на число $\alpha \in $\mathbb R$$

как это записать?


$x = (x_1, 0, x_3, 0,..., 0, x_n)$
$y = (y_1, 0, y_3, 0,..., 0, y_n)$,
$x, y \in $\mathbb R$$

$x + y \in M$
$\alpha x \in M$
то, что свойства будут выполняться - понятно.
А как дальше?

[gris]

Дальше стройте базис.
Возьмите самый естественный. Ортонормированный. Докажите, что это базис и посчитайте число векторов в нём. Это будет размерность. Она должна ыть целой! То есть будет целая часть от некоторй дроби.
Замкнутось означает $x,y\in M \Rightarrow (x+y)\in M$
Ну и для умножения.

[p4elka1986]

gris в сообщении #453140 писал(а):

Дальше стройте базис.
Возьмите самый естественный. Ортонормированный. Докажите, что это базис и посчитайте число векторов в нём. Это будет размерность. Она должна ыть целой! То есть будет целая часть от некоторй дроби.
Замкнутось означает $x,y\in M \Rightarrow (x+y)\in M$
Ну и для умножения.

Размерность $n-1$, так как количество независимых параметров $n-1$

$x_1 (1, 0, 0...0)$
$x_2 (0, 1, 0...0)$
...
$x_n (0, 0, 0...1)$

$e_1 = (1, 0, 0...0)$
$e_2 = (0, 1, 0...0)$
...
$e_n = (0, 0, 0...1)$

$M = \{x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n/ x_{n2} = 0, x_i \in $\mathbb R$}$

что-то меня смущает то, что получилось, по идее должно быть $e_{n-1}$

тогда, может:
$e_1 = (1, 0, 0...1)$
$e_2 = (0, 1, 0...0)$
...
$e_{n-1} = (0, 0, 0...1)$


как оформить не понимаю..

[VAL]

p4elka1986 в сообщении #453840 писал(а):

Размерность $n-1$, так как количество независимых параметров $n-1$

Нет, конечно! (Хотя... при некоторых $n$... )

Цитата:

$x_1 (1, 0, 0...0)$
$x_2 (0, 1, 0...0)$

Что такое $x_2$? Вторая координата Ваших векторов должна быть нулевой.

[p4elka1986]

VAL в сообщении #453851 писал(а):

p4elka1986 в сообщении #453840 писал(а):

Размерность $n-1$, так как количество независимых параметров $n-1$

Нет, конечно! (Хотя... при некоторых $n$... )

Цитата:

$x_1 (1, 0, 0...0)$
$x_2 (0, 1, 0...0)$

Что такое $x_2$? Вторая координата Ваших векторов должна быть нулевой.

тогда я запуталась, еще не сталкивалась с решением такого.
может тогда размерность $\frac n2$, хотя выглядит несолидно, бесконечность, деленная на 2...? я правда не знаю

[VAL]

p4elka1986 в сообщении #453852 писал(а):

тогда я запуталась, еще не сталкивалась с решением такого.
может тогда размерность $\frac n2$,

А если $n$ нечетно?

Цитата:

хотя выглядит несолидно, бесконечность, деленная на 2...?

Причем тут бесконечность?!

PS: По-вашему, получается, что бесконечность без единички - солидно, а бесконечность пополам - нет

[p4elka1986]

VAL в сообщении #453855 писал(а):

А если $n$ нечетно?

Цитата:

хотя выглядит несолидно, бесконечность, деленная на 2...?

Причем тут бесконечность?!

PS: По-вашему, получается, что бесконечность без единички - солидно, а бесконечность пополам - нет

по бесконечность без 1 я уже после отправления своего сообщения подумала, посмеялась про себя

тогда размерность n четное + 1...

-- Сб июн 04, 2011 09:23:19 --

я запуталась

-- Сб июн 04, 2011 09:26:50 --

но ведь размерность - это количество, а у нас независимых компонентов тут $\frac n2 + 1$

[gris]

Есть такая функция — целая часть.
Обозначается квадратными скобками. Её специально для таких случаев придумали.
$[\frac22]=[1]=1;\,[\frac32]=[1.5]=1; \,[\frac42]=[2]=2;\,[\frac52]=[2.5]=2$

В нашем случае надо просто подобрать формулу, хотя это можно сделать и строгим рассуждением

Но в данной задаче главное не формула для размерности (в конце концов её можно написать отдельно для $n=2k $ и $n=2k+1$), а строгое доказательство того, что найденная Вами система векторов, (которую Вы так и не выписали, кстати), является базисом. Тут мало только независимости. Надо показать ещё, что любой вектор из $M$ представляется в виде линейной комбинации векторов базиса.