Матрица оператора в корневом пространстве

[ean]

Привет,

Помогите пожалуйста разобраться со следующим (из Винберга "Курс алгебры" изд. 2011 стр. 259):

Цитата:

В базисе подпространства $V^\lambda (\mathcal{A})$, согласованной с этой ($\operatorname{Ker}(\mathcal{A}- \lambda\mathcal{E}) \subset \operatorname{Ker}(\mathcal{A}- \lambda\mathcal{E})^2 \subset ...$) цепочкой подпространств, оператор $\mathcal{A} - \lambda\mathcal{E}$ записывается нильтреугольной матрицей (т.е. треугольной матрицей с нулями на диагонали)...

Здесь $V^\lambda (\mathcal{A})$ - корневое подпространство, соответствующее собственному значению $\lambda$ оператора $\mathcal{A}$.
Мне не очевидно, почему матрица оператора записывается нильтреугольной матрицей. Помогите разобраться, пожалуйста.

[caxap]

Обозначим $\operatorname{ker}(\mathcal A-\lambda\mathcal E)^m=:K_m$, $\mathcal A-\lambda\mathcal E=:\mathcal B$.

Базис $(e_1,...,e_n)$ согласован с цепочкой $K_1\subset K_2\subset ...$, поэтому $e_1\in K_1$, но $\mathcal Be_1=0$, поэтому в матрице в угле будет ноль. Далее, $e_2\in K_2$, а т. к. $\mathcal B^2 e_2=0$, то $\mathcal B e_1\in K_1$, а значит пропорционален $e_1$, а значит во втором столбце матрицы...
И вообще, если $e_m\in K_m$, то $\mathcal B^m e_m=0$, а значит $\mathcal B e_m\in K_{m-1}$, поэтому в матрице будет...
Получается нильтреугольная матрица.

[ewert]

caxap в сообщении #453548 писал(а):

Базис $(e_1,...,e_n)$ согласован с цепочкой $K_1\subset K_2\subset ...$,

Какой-то птичий язык. Что значит "базис согласован с цепочкой"?...

[ean]

caxap в сообщении #453548 писал(а):

$e_1\in K_1$, но $\mathcal Be_1=0$, поэтому в матрице в угле будет ноль.

Почему это означает, что в угле будет ноль?

[caxap]

ewert в сообщении #453577 писал(а):

Какой-то птичий язык. Что значит "базис согласован с цепочкой"?...

Базис каждого следующего подпространства цепочки получается из базиса предыдущего прибавлением новых векторов (если это нужно, конечно). То есть любой начальный кусок базиса $(e_1,...,e_n)$ является базисом начального куска цепочки.

Винберг часто так говорит. И соответствующее строгое определение в учебнике где-то есть.

-- 03 июн 2011, 17:09 --

ean в сообщении #453579 писал(а):

Почему это означает, что в угле будет ноль?

Как матрица оператора строится?

[ean]

ewert в сообщении #453577 писал(а):

Какой-то птичий язык. Что значит "базис согласован с цепочкой"?...

Базис пространства называется согласованным с подпространством, если подпространство является линейной оболочкой какой-то части базисных векторов.
Определение по Винбергу (стр. 192)

-- Пт июн 03, 2011 16:15:51 --

caxap в сообщении #453580 писал(а):

Как матрица оператора строится?

Все, я разобрался, спасибо.