Маленькие вопросы по разным темам

[caxap]

Все задачки из темы прорешал кроме этой:

Задача. Докажите, что $p$ и $8p^2-1$ могут быть одновременно простыми только при $p=3$.

Не знаю даже, с чего начать...

[ИСН]

Херня. Не только.

[Dan B-Yallay]

p=7 (например)

[ИСН]

Там +1 подразумевался, наверное.

[Sonic86]

caxap в сообщении #453278 писал(а):

Все задачки из темы прорешал кроме этой:
Задача. Докажите, что $p$ и $8p^2-1$ могут быть одновременно простыми только при $p=3$.
Не знаю даже, с чего начать...

Обычно задачи, подобные этой, решаются через рассмотрение остатков по какому-нибудь небольшому модулю, доказывается, что какое-то из них делится на этот модуль и тогда размерность задачи понижается.

[caxap]

ИСН в сообщении #453333 писал(а):

Там +1 подразумевался, наверное.

Точно! Спасибо. Опечатка просто.

(Оффтоп)

Вообще, в той книжечке (Алгебра и теория чисел) опечаток тьма. Но обычно они очевидные, а тут прям в самом критическом месте...

Sonic86
Да, я ровно так и пытался "старую" задачу решить, взяв остатки от деления на 3. Но протворечие не получилось ($\overline{8p^2-1}=\overline 1$ при простом $p$). С "новой" вышло: $\overline{8p^2+1}=\overline 0$, значит $8p^2+1$ не простое. (Неучтённый случай $p=3$ проверяем непосредственно.)

[Sonic86]

caxap
Если метод не прошел, то скорее всего ошибка в задаче. Например, метод не проходить для простых Жермен $p, 2p+1$.

[nnosipov]

caxap в сообщении #452933 писал(а):

(Оффтоп)

Кстати, не подскажите хороший учебник по (элементарной) теории чисел? Я вообще-то хотел ей заняться после алгебры, но хочу пока просто набраться быстренько ликбеза. Сейчас читаю "Алгебру и теорию чисел" МГЗПИ (простое пособие для заочников). Но хочется что-то посерьёзней. Я нагуглил большое количество книг, но не знаю, что выбрать.

(Оффтоп)

Книг по элементарной теории чисел действительно немало. Попробуйте почитать книгу Нестеренко "Теория чисел" и классический учебник Виноградова "Основы теории чисел". Авторы других учебников, заслуживающих внимания: Бухштаб, Михелович, Сушкевич. Но главное --- параллельно решать задачи. Та книжка для заочников предоставляет некоторое количество упражнений и вполне разумна для приобретения первоначальных навыков, но в ней совсем нет трудных задач. (Кстати, в ней есть не только опечатки, но и неточности --- см. стр. 72, пример с кольцом $R$.)

[caxap]

nnosipov в сообщении #453493 писал(а):

Нестеренко "Теория чисел"

Спасибо. Прочитаю обязательно.

nnosipov в сообщении #453493 писал(а):

(Кстати, в ней есть не только опечатки, но и неточности --- см. стр. 72, пример с кольцом $R$.)

Мм... А что там не так?

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #453332 писал(а):

p=7 (например)

$8\cdot 7^2-1=17\cdot 23$
$p,8p^2-1$ простые при $p=2, 3, 5, 11, 17, 19, ...$

[nnosipov]

Вывод совершенно не обоснован. Наличие сколь угодно длинных разложений ещё не означает, что нет разложения в произведение простых элементов (последнее --- правда, но это нужно доказывать по-другому).

[caxap]

Как называется порядок, "противоположный" фундированному (то есть не существует бесконечной строго возрастающей последовательности; из каждого непустого подмножества можно выбрать максимальный элемент и т. д.)? Как он называется в случае линейного порядка (т. е. противоположность полного порядка)?