Замкнутость пространства (функан)

[Nimza]

Огромное спасибо!

-- Пт июн 03, 2011 01:30:00 --

Наверное лучше не начинать новую тему, у меня ещё один вопрос. В этот раз по функциональному анализу. Задачка из задачника Треногина.

Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $x(t)$ таких, что

$|x(a)| \leqslant k_{1},\; \int\limits_{a}^{b} \left| x'(t) \right| ^{2} dt \leqslant k_{2}$,

где $k_{1} \geqslant 0, k_{2} >0$ --- константы, компактно в пространстве $C[a,b]$.

С предкомпактностью у меня проблем не возникло (теорема Арцела), а вот с замкнутостью проблема. Откуда следует, что у предельной функции будет непрерывная производная?

[maxmatem]

Цитата:

Откуда следует, что у предельной функции будет непрерывная производная?

вспомните в каком пространстве, вы решаете задачу.

[zhoraster]

Лучше пусть отдельно будет.

-- Пт июн 03, 2011 09:25:26 --

Замкнутым в $C[a,b]$ оно не является. Легко построить последовательность, сходящуюся к модулю (гладенько доработать напильником модуль в нуле).

[Nimza]

Да, спасибо. У меня тоже так получилось, около нуля (на отрезке $[-x_{0},x_{0}]$) заменить модуль на $p(x) = \frac{x^{2}}{2x_{0}} + \frac{x_{0}}{2}$.

[ewert]

Только зачем же явные формулы. Достаточно вписать, к примеру, маленькую окружность.

Полезно уточнить, кстати, что в той книжке понимается под компактностью. Иногда под этим подразумевают именно предкомпактность.