Предел cos(nx)

[Nimza]

Подскажите, как показать, что найдётся такой $x \neq 0$, что $\nexists \lim\limits_{n\to\infty} {\cos (nx) }$. Критерий Коши сводит задачу к синусу.

[ИСН]

Вы точно хотели сказать именно это? Любой годится, тут промазать трудно.

[mihailm]

Nimza в сообщении #453295 писал(а):

...
Критерий Коши сводит задачу к синусу.

это как?

[neo66]

А я то думал, что предела не существует для любого ненулевого $x$.

[Nimza]

ИСН,
точно. Надо показать, что предела нет хотя бы при каком-то $x$.

mihailm,
$| \cos(mx) - \cos(nx) | = 2 \left| \sin {\frac{m+n}{2} x} \sin {\frac{m-n}{2} x} \right|$

[mihailm]

Nimza в сообщении #453310 писал(а):

mihailm,
$| \cos(mx) - \cos(nx) | = 2 \left| \sin {\frac{m+n}{2} x} \sin {\frac{m-n}{2} x} \right|$

(Оффтоп)

Логично , можно еще и через тангенс (половинного угла) и экспоненту

[ИСН]

Тупо пи взять и всё.

[Полосин]

Воспользуйтесь равенством $\cos(n+1)x=\cos(nx) \cos x-\sin(nx)\sin x$.

[zhoraster]

Тема разделена

[gris]

А предел не по целым $n$?
А то ведь $x=2\pi$?
Это я про "любой годится"

[ewert]

Nimza в сообщении #453310 писал(а):

точно. Надо показать, что предела нет хотя бы при каком-то $x$.

Это очевидно: достаточно взять в качестве контрпримера $x=\pi$.

Вот то, что нет предела при любом $x\in(0;2\pi)$ -- уже не так тривиально (хотя интуитивно и тоже очевидно). Если бы предел существовал, то точка $nx$ на единичной окружности поочерёдно прижималась бы к двум точкам, расположенным симметрично относительно горизонтально оси: $nx=\varphi+2\pi k_n+\varepsilon_n$ и $(n+1)x=-\varphi+2\pi k_{n+1}+\varepsilon_{n+1}$, где $k_n$ целые и $\varepsilon_n\to0$. Такое было бы возможно лишь при $\varphi=\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$, однако эти два требования противоречат друг другу.