Задача по теории вероятностей (геометрия...)

[Spandei]

Случайная точка $B$ равномерно распределена на окружность, заданной уравнением $x^2+(y-a)^2=r^2$ с центром в точке $A=(0,a)$. Случайная точка $C=(\xi,0)$ является пересечением оси абсцисс с прямой $AB$. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины $\xi$.

Я решал так: Рассмотрим дугу окружности, ограниченную точками $B_1$ и $B_2$ с центральным углом $\alpha$. Так будет выглядеть плотность распределения точки по окружности в зависимости от $\alpha$:

$$p(\alpha)=\frac{\alpha}{2\pi}.$$

На оси абсцисс отрезок $[B_1,B_2]$ образует отрезок $[C_1,C_2]$. Пусть $OC_1=b, OC_2=c$. Гипотенузы треугольников $AOC_1$ и $AOC_2$ равны $\sqrt{a^2+b^2}$ и $\sqrt{a^2+c^2}$ соответственно. Тогда по теореме косинусов:

$$(c-b)^2=a^2+c^2+a^2+b^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}\cos(\alpha).$$

Откуда

$$\cos(\alpha)=\frac{a^2+bc}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}$$

Тогда

$$p(\xi)=\frac{\arccos(\frac{a^2+bc}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}})}{2\pi},\xi \in [C_2,C_1].$$

$$p(\xi)=0,\xi \notin [C_2,C_1]$$

Откуда

$$F(\xi)=\frac{\xi-c}{2\pi}\arccos(\frac{a^2+bc}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}),\xi \in [C_2,C_1].$$

$$F(\xi)=0,\xi<C_2$$

$$F(\xi)=1,\xi>C_1$$

Собственно, вопрос - это правильное решение?
Также нам не дано $a,b,c,C_1,C_2$, можно ли привести ответ к такому виду, чтобы он этих данных не содержал?

[Sonic86]

Вообще, очевидно, что плотность распределения $f(x)$ будет строго положительна на всем $\mathbb{R}$, причем будет симметричной (угадайте относительно чего) и в точке симметрии иметь максимум (если непонятно, почему очевидно, вообразите точку, равномерно пробегающую все сектора окружности и посмотрите, как бегает лучик по $\mathbb{R}$) и вряд ли будет кусочно-заданной. У Вас явно что-то не то.

Ответ будет обязательно содержать $a$, но не более (это формально следует из условия).

[ИСН]

Ещё впихните туда $D_1,\, D_2,\, D_3$.

[alisa-lebovski]

С самого начала неверно. При равномерном распределении плотность постоянна. Угол равномерно распределен. Дальше найдите распределение $\xi$ как функции от случайной величины угла.

[Spandei]

Тогда получается, что $p(\alpha)=\frac{1}{2 \pi r}, \xi =a\ctg(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между осью ординат и прямой $OB$. Не могу связать эти две формулы между собой.

[alisa-lebovski]

Найдите стандартную формулу, как считается плотность для функции от случайной величины.

[Spandei]

у меня получилось так
Если у случайной величины $\xi$ функция распределения $p_{\xi}(x)$, и $\eta=f(\xi)$, то $p_{\eta}(x)=(g^{-1}(x))'f_{\xi}(g^{-1}(x))$
Обратной функцией к $f(x)=a \ctg x$ будет $g(x)=\arcctg(\frac{x}{a})$

$$(\arcctg(\frac{x}{a}))'=-\frac{a}{x^2+a^2}$$

$$p(\xi)=-\frac{a}{\xi^2+a^2}\frac{1}{2 \pi r}$$

$$F(\xi)=\int_{-\infty}^x-\frac{a}{\xi^2+a^2}\frac{1}{2 \pi r}d \xi =\frac{1}{2 \pi r}\int_{-\infty}^x(-\frac{1}{1+(\frac{\xi}{a})^2})\frac{1}{a}d \xi =\frac{1}{2 \pi r} \arcctg(\frac{\xi}{a}) |^{\xi}_{-\infty}=\frac{1}{2 \pi r}(\arcctg(\frac{\xi}{a})-\pi)$$

Проверьте пожалуйста

[alisa-lebovski]

В формуле преобразования плотности стоит модуль производной. Плотность получается положительная, отрицательная не бывает. На $r$ делить не надо. В конечном счете $F$ должна принимать значения от 0 до 1.

[Spandei]

Тогда получается $p(\xi)=\frac{a}{\xi^2+a^2}\frac{1}{2 \pi }$???
А почему не надо делить на r?
Если точка равномерно распределена по окружности, то плотность распределения по окружность будет один делить на её длину ведь? Если нет, объясните пожалуйста, почему...
Меня только что посетила такая мысль: каждой прямой проходящей через A соответствует две возможных случайных точки B, поэтому плотность распределения B будет $\frac{1}{\pi}$
При таком значении этой плотности, интеграл от плотности $\xi$ по всей действительной оси будет равен 1, похоже, что это верно. Однако я все равно не могу понять почему не надо делить на r.

[alisa-lebovski]

Потому что вы вдоль окружности меряете не длину, а угол.
Чтобы не было повторений, можно его взять по одной стороне окружности.

[Spandei]

Понял, спасибо.