Задачи по начальной теории вероятностей

[Pashka7ka]

Первая задача:
Фирма получила 1000 рублей за то, чтобы предсказать стоимость акции через месяц, с условием что из этой тысячи вычтется сумма, равная ошибке в предсказании цены(т.е. они получат 1000 минус разницу между реальной стоимостью акции и той, что они придумают)
В фирме два менеджера, они нашли, что стоимость акции можно выразить при помощи распределения вероятностей случайной величины: P(x=110)=0.3: P(x=120)=0.3: P(x=130)=0.3: P(x=150)=0.1:. Проблемма в том, что первый думает что стоимость акции будет х=110, а второй х=120. Надо найти математическое ожидание ихнего заработка по первому и по второму менеджерам, затем сравнить у кого больше.

А теперь как я пытался это решать:
По-моему, надо здесь сделать новую функцию y, которая будет величиной заработка. Если исходить из политики первого, то y=1110-x, тут вроде всё просто. Но в случае со вторым я не могу построить правильно функцию, ведь если взять по аналогии с предыдущим, то y=1120-x. Но, в таком случае, если реальная стоимость акции окажется 110, то ихний заработок будет 1010, что противоречит условию, т.к. они получили только 1000. Единственное что мне приходит в голову - функция с модулем y=1000-|x-120|, но тогда я не знаю как продолжать.

Вторая задача:
В автосалоне стоит 5 машин на продажу. В него заходят 3 покупателя. Каждый из них делает запрос на одну из машин, причём все трое независимо друг от друга. Теперь вопросы:

1-какова вероятность того, что все трое запросили одну и ту же машину?
2-какова вероятность того, что поступило запросов на две машины ровно?
3-дан Х - случайная величина, означает количество машин на которые поступили запросы. Надо расчитать распределение вероятностей Х.
4-если на одну машину поступает более одного запроса, то магазин выбирает "победителя" случайным образом (из представивших запросы на данную машину). Какова вероятность того, что какой-либо покупатель не купит понравившуюся ему машину (т.е. победит другой, кто также запросил эту машину)?

Я начал решать это так - всего способов выбрать три машины из пяти без возврата и с учётом того, что машины

разные 5^3=125
1 - первый выбирает машину, второй и третий выбирают ту же машину, т.е. (1из5)*(1из1)*(1из1)=5, т.е. вероятность этого события равна 5/125.
2 - тут надо выбрать одну и ту же машину два раза, затем выбрать какую-либо из четырёх оставшихся, т.е. (1из5)*(1из1)*(1из4)=5*4=20, т.е. вероятность этого события 20/125.
3 - Х может принимать значения 1, 2 или 3. Для х=1 и х=2 вероятности уже посчитаны в предыдущих вопросах, для х=3 надо выбрать одну машину из 5, затем одну из 4 и в конце одну из 3, т.е. 5*4*3=60, следовательно вероятность = 60/125. И тут первый сюрприз - сумма вероятностей не равна 1. В чём же я ошибся?
4 - вероятность этого события это, как я думаю, 1/2*(P{x=2})+2/3*(P{x=1}).

Третья задача, она же последняя.
Дан экзамен из четырёх вопросов, в каждом вопросе по четыре ответа, только один из них правильный. Студент не знает материал, поэтому пытается угадать ответы. Х - количество правильных ответов. Вот вопросы:

1-найти распределение вероятностей Х и математическое ожидание.
2-за каждый правильный ответ студент получает 10 баллов, за неправильный (-5) баллов. Y (случайная величина) - количество баллов которые наберёт студент. Надо найти распределение вероятностей Y и математическое ожидание Y.
3-на следующем экзамене того же принципа (4 ответа, один правильный, то же самое и с баллами), но состоящем из 10 вопросов студент знает ответ на 6 вопросов, но не знает на 4 и пытается их угадать. Опять надо найти распределение вероятностей Х и Y и математическое ожидание от Х и Y.

Решал я так:
1 - Х может принимать значения 0,1,2,3,4. Вероятность угадать правильно=0,25. В принципе описанная ситуация позволяет воспользоваться формулой биноминального распределения, поэтому тут вроде всё решилось просто.
2 - Зависимость X от Y можно выразить формулой y=15*x-20, так что тут тоже всё вроде просто. Значения Y следующие:
Y(х=0)=-25, Y(х=1)=-5, Y(х=2)=10, Y(х=3)=25, Y(х=4)=40.
3 - значения Х теперь такие: 6,7,8,9,10. Соответственно значения Y: Y(х=6)=40, Y(х=7)=55, Y(х=8)=70, Y(х=9)=85, Y(х=10)=100. Но вот какой вопрос интересует - теперь же я уже не могу рачитать вероятности по формуле биноминального распределения? Или же вероятность х=6 теперь такова же как и вероятность х=0 из предыдущих вопросов?

Буду рад любой помощи, спасибо:)

[RIP]

1) Все правильно, надо взять $Y=1000-|X-120|$. Теперь надо выяснить, какие значения принимает $Y$ и с какой вероятностью. В чем трудности?

Добавлено спустя 7 минут 58 секунд:

Во второй задаче пункт 1-правильно.
Пункт 2 - неверно. Вы посчитали вероятность того, что первый и второй покупатель выбрали одинаково, а третий выбрал нечто другое.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

По модулю п.2 третий пункт решен верно.

Добавлено спустя 10 минут 36 секунд:

п.4 я так понимаю: Надо просто посчитать вероятность того, что было выбрано в сумме меньше 3 машин (т.е. хотя бы 2 запроса совпали). Так что у меня другой ответ. Но тут я не уверен. Возможно, PAV прояснит ситуацию, когда (если) найдет время.

Добавлено спустя 8 минут 28 секунд:

Pashka7ka писал(а):

Третья задача, она же последняя.

1 - правильно
2 - очепятка (ошибка ) в Y(0)

[PAV]

Пункт 4 второй задачи решать по-моему удобнее всего так.

Рассмотрим первого покупателя. Он выбрал себе какую-то машину. Далее с его точки зрения два других покупателя реализуют испытания Бернулли: успех с вероятностью 0.8 (выбор любой другой машины), неудача с вероятностью 0.2 (выбор той же машины, которую выбрал он). Пространство разбивается на три части: 2 успеха (никто другой не выбрал его машину, он получит ее с вероятностью 1), 1 успех (еще один покупатель претендует на его машину, тогда условная вероятность получить машину для него равна 1/2) и 0 успехов (все претендуют на его машину, вероятность получить ее равна 1/3). Теперь осталось применить формулу полной вероятности.

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

Впрочем, это не то: я решал, что какой-то конкретный покупатель не купит понравившуюся ему машину. Но в дословной формулировке задачи спрашивается, что хотя бы один не купит выбранную им машину. Тогда RIP прав: это событие в точности то, что хотя бы два запроса совпадут. К автору: вы отвечаете за дословную точность вопроса задачи?

На самом деле это фактически та же знаменитая задача о лифте, которая уже ранее обсуждалась.

[RIP]

п.3. Если подразумевается, что студент на какие-то фиксированные 6 вопросов гарантированно отвечает верно, а остальные решает методом научного тыка, то ситуация по сути та же самая, т.е. вероятности можно брать из первого пункта (т.е. верно именно второе Ваше предположение).
P.S. Надеюсь, нигде не наврал.
Вот и тяжелая артиллерия подоспела. Удаляюсь.

[Pashka7ka]

RIP
Спасибо за помощь.

RIP писал(а):

Во второй задаче Пункт 2 - неверно. Вы посчитали вероятность того, что первый и второй покупатель выбрали одинаково, а третий выбрал нечто другое.

Но мне же это вроде и надо. Надо чтобы два выбрали одно и то же, а третий нечто другое, тогда запросов будет точно на две машины. Я так подозреваю, что надо умножить на три, чтобы учесть разные варианты в паре которая выберет одну и ту же машину.

В третей задаче действительно опечатался, там (-20)

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

PAV
Также спасибо за обьяснение. К сожалению, я не уверен по поводу точности воспроизведения условия последнего пункта второй задачи. Я думаю, имеется в виду конкретный покупатель.

А по другим задачам Вы никаких ошибок не заметили?

Добавлено спустя 56 секунд:

И где можно почитать про задачу о лифте?

[PAV]

PAV писал(а):

На самом деле это фактически та же знаменитая задача о лифте, которая уже ранее обсуждалась.

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=330

[Pashka7ka]

PAV
Спасибо, действительно похожая задачка.

[PAV]

Pashka7ka писал(а):

Также спасибо за обьяснение. К сожалению, я не уверен по поводу точности воспроизведения условия последнего пункта второй задачи. Я думаю, имеется в виду конкретный покупатель.

Я тоже так думаю, это более содержательная учебная задачка. И именно она использует условие того, как магазин разрешает спорные ситуации.

[RIP]

Pashka7ka писал(а):

RIP
Спасибо за помощь.

RIP писал(а):

Во второй задаче Пункт 2 - неверно. Вы посчитали вероятность того, что первый и второй покупатель выбрали одинаково, а третий выбрал нечто другое.

Но мне же это вроде и надо. Надо чтобы два выбрали одно и то же, а третий нечто другое, тогда запросов будет точно на две машины. Я так подозреваю, что надо умножить на три, чтобы учесть разные варианты в паре которая выберет одну и ту же машину.

Одинаково могут выбрать и второй с третьим... Так что, действительно, надо умножить на 3.

[Pashka7ka]

RIP
Понятно, я так и сделал уже, спасибо:)