задача (ЕГЭ C6, уравнение, целые части, факториалы)

[MathKvant]

Встретилась мне при подготовке к егэ с6, решить не получается. Прошу помощи.$[x/1!]+[x/2!]+[x/3!]+...+[x/2007!]=1005$

[alex1910]

Hint - не равны нулю только первые несколько слагаемых.
Hint 2 - "несколько" - очень мало:)

[obar]

$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e. $$

[gris]

Левая часть монотонно(нестрого) возрастает при возрастании $x$. Вот и надо продвигаться сначала вперёд большими шагами, а потом назад маленькими.

[MathKvant]

Ну я так понял, что перебор и только. Оценка по x<6!=720,тогда получается, что уравнение равносильно [x/1!]+[x/2!]+[x/3!]+[x/4!]+[x/5!]=1005, остальные зануляются. Правильно? И как дальше?

[gris]

720 уже перебор. Теперь назад откатиться. Целое $x$ найти, а потом и интервал. Или решение в целых нужно?

[Батороев]

По-видимому, можно прикинуть следующим образом:

$\dfrac{n!}{1!}+\dfrac{n!}{2!}+\dfrac{n!}{3!}...<1005$

$n=5$

$\dfrac{5!}{1!}+\dfrac{5!}{2!}+\dfrac{5!}{3!}+\dfrac{5!}{4!}+1=206$

$\dfrac {1005}{206}=4,88$

$4,88\cdot 5! = 585,44 $

В окрестностях этого числа и находится $x$ (равный $587$).

[MathKvant]

Красиво! Всем большое спасибо, теперь понял, как такое решается.

[ewert]

Батороев в сообщении #452694 писал(а):

В окрестностях этого числа и находится $x$ (равный $587$).

Ну прям-таки уж и равный. Хотя идея и правильная.

После деления на ту сумму (да, достаточно учитывать факториал пятёрки, начиная с шестёрки поправки к той грубой прикидке будут явно порядка единички или меньше, что явно непринципиально) -- получится начальное приближение для икса типа $585$, если не ошибаюсь. Кстати, поминать всуе число $(e-1)$ вовсе не обязательно -- достаточно того, что после пятёрки ньюансы уже очевидно малосущественны, а мы ведь пока что лишь прикидываем.

Ну теперь для икса, в точности равного $585$, получаем слагаемые $585$, $292\frac12$, $97\frac36$, $24\frac9{24}$, $4\frac{105}{120}$ (если не сбился, но это опять же непринципиально).

Сумма целых частей получается $1002$, немножко недотягивает. Хорошо, ищем решение в виде $x=585+y,\ y>0$. Получаем:

$585+[y]+292+[\frac{1+y}2]+97+[\frac{3+y}6]+24+[\frac{9+y}{24}]+4+[\frac{105+y}{120}]=1005,$

$[y]+[\frac{1+y}2]+[\frac{3+y}6]+[\frac{9+y}{24}]+[\frac{105+y}{120}]=3.$

Ну тут уж всё ясно: $y\geqslant3$ -- явный перебор, в то время как $y<2$ -- явный недобор. Откуда и ответ: $y\in[2;3)$.

-------------------------------------------------
Хотя я от этой задачки всё-таки не в восторге. Вроде и разумная, но. Дело даже не в переборе, а в том, что сознательно её можно решить, лишь если понятие ряда сидит в подкорке. Чего у школьников -- не предполагается (во всяком случае -- обязано не предполагаться). Неспортивно откровенно. А ещё в шляпе ЕГЭ.

[alex1910]

Какой тут ряд - конечная сумма.
Да и легко, без перебора, получается, что 585,???<=x<=588,???.
Понятно, что ответ [a,b), a и b - целые.
Осталось посчитать в 586, чтобы сразу найти [587,588).

Так что никакого перебора, хотя задача и не фонтан. Могли бы, например, сделать правую часть и знаменатели поменьше.

[ewert]

alex1910 в сообщении #452811 писал(а):

Какой тут ряд - конечная сумма.

Формально -- далеко отнюдь. То, что ЕГЭзаторы тут явно лопухнулись -- вопрос другой. Им не впервой это. Ну а нам -- не впервой платить за ихние экзерсисы. Известно же: есть люди, которые работают -- и есть совсем другие, которые на этом жируют.

[alex1910]

1. Где Вы видите ряд? Там сумма 5-ти слагаемых, декоративно записанная как сумма 2000+ слагаемых. Тогда и квадратное уравнение - ряд.

2. В чем проблема этой задачи, по Вашему? ЕГЭзаторы лопухаются и гонят халтуру регулярно, предложенная задача - не самый худший вариант.

3. Лично я на этом не жирую:)