Найти циркуляцию вестора

[shur]

$\vec a=-x\vec i+zy\vec j+\vec k$

По контуру получ, при пересечении с осями координат $-x+3y+3z=3$

$x\le 0$ ; $y\ge 0$; $z\ge 0$

По формуле Стокса получилась $\dfrac{1}{6}$ через интеграл пов-ный 1го рода, а через 2го рода $-\dfrac{1}{6}$

Через криволин интеграл I го рода получилось вообще $-\dfrac{9}2-\dfrac{7}2-\dfrac{11}6=-\dfrac{59}{6}$

Сколько же должно получиться? Какой правильный ответ? Я напишу как решал в тех случаях, где неправильный ответ) Очень интересно -- почему они расходятся...(ведь перепроверил, прежде чем писать)

[shur]

Собственно, начинал с этого.

Контур выбрал по правилу Буравчика)

Уравнение плоскости в отрезках

$\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{1}=1$

-- Ср июн 01, 2011 02:40:26 --

Через криволин интеграл I рода:

$$\text{Ц}=\int\limits_l (-x\cos\alpha+yz\cos \beta+\cos\gamma)dS$$

$$\text{Ц}=\Big[\int\limits_{BA}+\int\limits_{AC}+\int\limits_{CB}\Big] \Big(-x\cos\alpha+yz\cos \beta+\cos\gamma\Big)dS$$

Рассмотрим

$$I_1=\int\limits_{BA}(-x\cos\alpha+yz\cos \beta+\cos\gamma)dS$$

Найдем параметризацию отрезка $BA$.

$$\vec{BA}=(3;1;0)$$

Направл косинусы этого вектора

$\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$;$\cos\beta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$;$\cos\gamma=0$

Параметризация отрезка $BA$

$\begin{cases} x=3t \\ y=t+1 \\ z=0\\ \end{cases}$

$$I_1=\int\limits_{0}^1 \Big(-3t\cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}}\Big)\sqrt{10}dt=-9\int\limits_{0}^1 tdt=-\dfrac{9}2$$

Параметризация $AC$
$\begin{cases} x=3t \\ y=0 \\ z=t+1\\ \end{cases}$

$$I_2=\int\limits_{0}^1 \Big(-3t\cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{10}}\Big)\sqrt{10}dt=-9\int\limits_{0}^1 tdt+\int\limits_{0}^1 dt=-\dfrac{9}2+1=-\dfrac{7}2$$

Параметризация $CB$

$\begin{cases} x=0 \\ y=t+1 \\ z=-t\\ \end{cases}$

$$I_3=\int\limits_{0}^1 \Big(-t(t+1)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)\sqrt{2}dt=-\int\limits_{0}^1 t^2dt-\int\limits_{0}^1 tdt-\int\limits_{0}^1 tdt=-\dfrac{1}3-\dfrac{1}2-1=-\dfrac{11}6$$

$$\text{Ц}=I_1+I_2+I_3=-\dfrac{9}2-\dfrac{7}2-\dfrac{11}6=-\dfrac{59}6$$

Похоже на правду?!

Теперь по Теореме Стокса

$$ \operatorname{rot}\vec a=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \\ -x & yz & 1 \end{vmatrix}=-y\cdot \vec i+0\cdot\vec j+0\cdot\vec k$$

$$\text{Ц}=\iint\limits_{\sigma}\Big[-y\cos\lambda\Big] d(\sigma)$$

$\sigma$ - поверхность $-x+3y+3z=3$

Нормаль к поверхности $\vec{n}=(-1;3;3)$; $\cos\lambda=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$

$D_{yz}$ - проекция поверхности $\sigma$ на плоскость $yOz$

$$\text{Ц}=\iint\limits_{D_{yz}}\Biggl(-y\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{10}}\cdot \sqrt{1+\Big(\frac{\partial x}{\partial y}\Big)^2+\Big(\frac{\partial x}{\partial z}\Big)^2}\Biggl)dydz$$

Из условия

$$x=3t+3z-3$$

Таким образом, $\sqrt{1+\Big(\frac{\partial x}{\partial y}\Big)^2+\Big(\frac{\partial x}{\partial z}\Big)^2}=\sqrt{10}$

$$\text{Ц}=\iint\limits_{D_{yz}}ydydz=\int\limits_0^1dy\int\limits_0^{1-y}ydz=\int\limits_0^1y(1-y)dy=\int\limits_0^1 ydy-\int\limits_0^1 y^2dy=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$$

[shur]

Выписал 2 решения
1) Через криволин интеграл I рода
2) По теореме Стокса через поверхн. интеграл I рода

Ответы не совпали( А почему?!

[shur]

Кстати, на один вопрос уже ответил -- про теорему Стокса) Понял -- почему именно $1/6$ и $-1/6$

[shur]

Сам с собой разговариваю