Функан. нормальный оператор и его свойство

[ewert]

да уж, накрутили. Вот как надо.

Теорема. $(x,y)=\frac12\big(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\big)$, если пространство вещественно;
$(x,y)=\frac12\big(\|x+y\|^2+i\|x+iy\|^2-(1+i)(\|x\|^2+\|y\|^2)\big)$, если пространство комплексно.

(Последнее тождество часто записывают в другом виде, но это не принципиально: сам факт, что любое скалярное произведение всегда можно представить как некоторую фиксированную комбинацию квадратов норм -- следует знать, а какую конкретно -- уже не так важно.)

Следствие 1. $\|Ax\|=\|Bx\|\ (\forall x)\ \Leftrightarrow\ (Ax,Ay)=(Bx,By)\ (\forall x,y)\ \Leftrightarrow\ A^*A=B^*B.$

Следствие 2. $\|Ax\|=\|A^*x\|\ (\forall x)\ \Leftrightarrow\ \ A^*A=A\,A^*.$