2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метод знакозамещения
Сообщение31.05.2011, 23:12 
Есть кароче такой метод для решения лагорифмических неравенств. Называется знакозамещение. Говорят, что появился относительно недавно. Суть его в следующем:
Есть неравенство:
$\log_{a}b>0$
равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.
Это выполняется при любом знаке неравенства. Но нужно, чтобы в правой части стоял ноль.
Кто-небудь слышал об этом методе и откуда это выводится?

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение31.05.2011, 23:15 

(Оффтоп)

Граммар наци негодует

Суть в том, что данные числа должны быть одновременно быть больше или меньше 1.

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение31.05.2011, 23:15 
Аватара пользователя
$\log_a b>0\iff$ $a$ и $b$ лежат по одну сторону от единицы. Теперь сравните с
mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
$(a-1)(b-1)>0$

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение31.05.2011, 23:17 
А откуда это выводится? Или это просто из исследования одз?

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение31.05.2011, 23:24 
Аватара пользователя
Наглядней всего из графиков. Если основание $0<a<1$, то $\log_a$ убывает (почему?), а если $a>1$, то возрастает (почему?). $\log_a 1=0$ всегда (почему?).

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение01.06.2011, 00:11 
Аватара пользователя
mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
Есть кароче такой метод для решения лагорифмических неравенств. Называется знакозамещение. Говорят, что появился относительно недавно.
"Относительно недавно" - это когда?

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
Есть неравенство:
$\log_{a}b>0$
равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.
Это выполняется при любом знаке неравенства.
Если хотите совсем уж "при любом", то надо бы писать систему: $$\begin{cases}a>0,\\ b>0,\\ \frac{b-1}{a-1}>0.\end{cases}$$ Первые же два неравенства в любом случае нужно не забывать.

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
Но нужно, чтобы в правой части стоял ноль.
Не обязательно. Например, неравенство $\log_ab\leqslant\log_ac$ равносильно системе $$\begin{cases}a>0,\\ b>0,\\ c>0,\\ \frac{b-c}{a-1}\leqslant 0.\end{cases}$$ Аналогично неравенство $a^b\leqslant a^c$ равносильно системе $$\begin{cases}a>0,\\ (a-1)(b-c)\leqslant 0.\end{cases}$$ (Первое неравенство появляется потому, что степенно-показательная функция $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ считается определённой только при $f(x)>0$. Но я не даю гарантии, что кто-нибудь не сочтёт нужным расширить область определения.)

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
Кто-небудь слышал об этом методе
Ну, я услышал о нём лет 20 назад от человека, который приехал к нам из другого города, и он считал этот метод очевидным.

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение01.06.2011, 00:44 
mak1610 в сообщении #452454 писал(а):
равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.

Это -- не более чем пижонская запись соотв. системы неравенств на $a$ и $b$, притом тривиальной. Запись -- вредная, ибо откровенно нацелена на зазубривание формальных манипуляций вместо вникания в существо дела, практической же пользы от неё -- ни на грош.

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение01.06.2011, 11:10 
Это называется эффективный метод
описан вроде Голубевым (Который с Шарыгиным) где то в начале 90-х
Нормальный метод

 
 
 
 Re: Метод знакозамещения
Сообщение01.06.2011, 15:10 
Все это училкины штучки. Умный и сам догадается, его этому учить не надо.
Глупый - вызубрит и забудет (или, что еще хуже, умудрится использовать неправильно).

При этом сами по себе логарифмические неравенства - это бесполезный маразм, который не встречается нигде, кроме "вступительной математики".

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group