Метод знакозамещения

[mak1610]

Есть кароче такой метод для решения лагорифмических неравенств. Называется знакозамещение. Говорят, что появился относительно недавно. Суть его в следующем:
Есть неравенство:
$\log_{a}b>0$
равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.
Это выполняется при любом знаке неравенства. Но нужно, чтобы в правой части стоял ноль.
Кто-небудь слышал об этом методе и откуда это выводится?

[Gortaur]

(Оффтоп)

Граммар наци негодует

Суть в том, что данные числа должны быть одновременно быть больше или меньше 1.

[caxap]

$\log_a b>0\iff$ $a$ и $b$ лежат по одну сторону от единицы. Теперь сравните с

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

$(a-1)(b-1)>0$

[mak1610]

А откуда это выводится? Или это просто из исследования одз?

[caxap]

Наглядней всего из графиков. Если основание $0<a<1$, то $\log_a$ убывает (почему?), а если $a>1$, то возрастает (почему?). $\log_a 1=0$ всегда (почему?).

[Someone]

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

Есть кароче такой метод для решения лагорифмических неравенств. Называется знакозамещение. Говорят, что появился относительно недавно.

"Относительно недавно" - это когда?

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

Есть неравенство:
$\log_{a}b>0$
равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.
Это выполняется при любом знаке неравенства.

Если хотите совсем уж "при любом", то надо бы писать систему:

$$\begin{cases}a>0,\\ b>0,\\ \frac{b-1}{a-1}>0.\end{cases}$$

Первые же два неравенства в любом случае нужно не забывать.

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

Но нужно, чтобы в правой части стоял ноль.

Не обязательно. Например, неравенство $\log_ab\leqslant\log_ac$ равносильно системе

$$\begin{cases}a>0,\\ b>0,\\ c>0,\\ \frac{b-c}{a-1}\leqslant 0.\end{cases}$$

Аналогично неравенство $a^b\leqslant a^c$ равносильно системе

$$\begin{cases}a>0,\\ (a-1)(b-c)\leqslant 0.\end{cases}$$

(Первое неравенство появляется потому, что степенно-показательная функция $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ считается определённой только при $f(x)>0$. Но я не даю гарантии, что кто-нибудь не сочтёт нужным расширить область определения.)

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

Кто-небудь слышал об этом методе

Ну, я услышал о нём лет 20 назад от человека, который приехал к нам из другого города, и он считал этот метод очевидным.

[ewert]

mak1610 в сообщении #452454 писал(а):

равносильно неравенству:
$(a-1)(b-1)>0$.

Это -- не более чем пижонская запись соотв. системы неравенств на $a$ и $b$, притом тривиальной. Запись -- вредная, ибо откровенно нацелена на зазубривание формальных манипуляций вместо вникания в существо дела, практической же пользы от неё -- ни на грош.

[mihailm]

Это называется эффективный метод
описан вроде Голубевым (Который с Шарыгиным) где то в начале 90-х
Нормальный метод

[alex1910]

Все это училкины штучки. Умный и сам догадается, его этому учить не надо.
Глупый - вызубрит и забудет (или, что еще хуже, умудрится использовать неправильно).

При этом сами по себе логарифмические неравенства - это бесполезный маразм, который не встречается нигде, кроме "вступительной математики".