Теорема Банаха

[Gortaur]

Есть компакт $S$, класс $B(S)$ ограниченных и борелевских функций. Задан оператор $J:B(S)\to B(S)$ такой, что

$$ \|J^m f\|\leq \alpha \|f\| $$

где $\alpha<1$. Нужно построить решение уравнения

$$ f(x) = g(x)+Jf(x), $$

где $g\in B(S)$ - задана. Я начинаю с $f_0(x)$ и строю $f_n(x) = J^n f_0(x)$. Нужно найти границы на $\|f-f_n\|$. Границы-то я нашел используя экспоненциальное убывание $\Delta_n = f_{n+1}-f_n$, но доказывал сам и доказательство немного громоздкое.

Быть может, для такого хорошего случая есть быстрое и удобное доказательство, более или менее стандартное? Что посоветуете?

[Полосин]

А чем плох стандартный ряд Неймана $f=\sum\limits_{n=0}^{\infty}J^ng$ со стандартной оценкой скорости сходимости?

[Oleg Zubelevich]

из опуса не ясно является ли $J$ линейным оператором или нет. безграмотная постановка совершенно. какова топология на $S$ из чего состоит компакт? что такое $m$ натуральное число? любое? одно единственное? и т.д.

[Dan B-Yallay]

Gortaur писал(а):

Я начинаю с $f_0(x)$ и строю $f_n(x) = J^n f_0(x)$.

Мне кажется таким образом Вы находите решение $f=Jf$ а не $f=g+Jf$
Кроме того, если я правильно ошибаюсь, теорема Банаха требует $d(Ju,Jv) < d(u,v)$ а не $\|Jf\| < \|f\|$ (неравенствa "с запасом" естественно)

[CowboyHugges]

А разве стандартный ряд Неймана не для линейных операторов?

А Вы как с помощью Банаха разрешимость этого уравнения доказываете, тут вроде и области не замкнутые и пространства не банаховы, да и оператор сразу не скажешь,что сжимающий? Какой-то он тут Банах не стандартный выходит :) Можете в двух словах рассказать, просто интересно.

[Gortaur]

Некоторые вещи забыл указать: $S\subset \mathbb{R}^n$, $J$ - линейный. Наконец, конечно, $f_{n+1}(x) = g(x)+Jf_n(x)$.

Про ряд Неймана не слышал, но он подойдет. Где можно посмотреть литературу про него?

[ewert]

Для сходимости ряда (или, что то же, последовательных приближений) надо, чтобы спектральный радиус был меньше единицы (или, что то же, чтобы хотя бы некоторая степень оператора была сжимающей).

Другое дело, что сочетание "линейный оператор, заданный на компакте" -- выглядит очень странно.

[Gortaur]

Что в этом странного, тривиальность? Кстати, насчет вида $J$:

$$ Jf(x) = \mathbf{1}_A(x)\int\limits_S f(y)K(x,dy). $$

Здесь $A\subset S$. Кроме того, ядро $K$ не обязано быть абсолютно непрерывным.

[Gortaur]

Посмотрел про ряд Неймана-Лиувилля (надеюсь, он) в вики. Формулируется для абсолютно непрерывных ядер с непрерывной плотностью, при том это используется для составления оценки.

2ewert, мне кажется, что $B(S)$ (область задания данного линейного оператора) не является компактом.

2oleg: структуру компакта я написал, не знал важно ли это или нет. $m$ - натуральное число. Для всех других $n$ верно, что $\|J^n\|\leq 1$. Так что $m$ - минимальная степень, при которой оператор является сжимающим.

[ewert]

Gortaur в сообщении #452171 писал(а):

Формулируется для абсолютно непрерывных ядер с непрерывной плотностью, при том это используется для составления оценки.

Ряд Неймана -- это просто разложение абстрактной операторной резольвенты в геометрическую прогрессию (http://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series). Если речь конкретно об интегральном операторе, то непрерывность ядра там совершенно не при чём и используется лишь для упрощения оценок операторных норм. Если исходный оператор не сжимающий -- как правило, никакими итерированиями (т.е. возведениями в степень) его сжимающим и не сделаешь. В более-менее общем случае итерирования рано или поздно гарантируют сжимаемость, если это -- оператор вольтерровского типа, т.е. если $K(x,y)=0$ при $y>x$, но это -- для одномерных уравнений.

[Gortaur]

Оператора сам не сжимающий, но его норма ограничена единицей. Некоторая степень сжимающая, так что решение единственно. Мне нужны как раз границы между приближенным решением и аналитическим. Я могу их построить без проблем - но мне интересно, есть ли стандартные способы это делать. Ок, я могу взять $f_0(x) = g(x)$, могу взять что угодно. Вопрос лишь в том, что я не хочу печатать "я изобрел велосипед", а просто узнать, есть ли этот велосипед уже или конкретно для моей задачи не будет глупо выдумывать решение от начала до конца.