Найти супремум и инфимум функции

[EvilOrange]

Итак, задача:
Найти sup u, inf u
$u=xy+yz+xz$
$x^2+y^2+z^2 \leq a^2, (a>0) $
Если честно, идея только одна, да и та бредовая:
Попытаться найти условные экстремумы на границе сферы $x^2+y^2+z^2= a^2 $. Если найдем, то они и будут cупремумом\инфимумом.
Составляем функцию Лагранжа:
$L=xy+yz+xz+ \lambda (x^2+y^2+z^2)$
Ищем частные производные функции Лагранжа:

$$ \begin{cases} L'_x=y+z+2x\lambda=0 \\ L'_y=x+z+2y\lambda=0 \\ L'_z=x+x+2z\lambda=0 \\ L'_{\lambda}=x^2+y^2+z^2-a^2=0\\ \end{cases} $$

Вольфрам Альфа подсказывает, что решениями данной системы является
$\lambda=-1, x,y,z=\frac {a} {\sqrt{3} }$
и
$\lambda=-1, x,y,z=-\frac {a} {\sqrt{3} }$
В итоге, для одного значения Лямбда имеем две разные точки... Так же,вроде, не должно получаться?..

[Dan B-Yallay]

$u(x,y,z)=u(-x,-y,-z)$ + симметричная область.

[Полосин]

У вас все более-менее правильно, вот только прибегать к помощи всяких там "вольфрамов" ни к чему. Сложите первые три уравнения системы.
Исследование на экстремум внутри области сводится, как легко сообразить, к задаче на безусловный экстремум.
Альтернативный способ решения, не требующий составления функции Лагранжа: сначала воспользуйтесь тождеством $2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)$, затем выполните поворот (т.е. переход к другим ортогональным координатам) с условием $x+y+z=\sqrt{3}z'$.

[ewert]

Зачем ворочать-то? Если $2u=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)$, то для любой сферы $x^2+y^2+z^2=r^2$, очевидно, минимум достигается на пересечении этой сферы с плоскостью $x+y+z=0$. Максимум -- в точке касания сферы и плоскости $x+y+z=\mathrm{const}$, т.е. при $x=y=z$.

[alenka77]

Зачем ворочать-то? Если , то для любой сферы , очевидно, минимум достигается на пересечении этой сферы с плоскостью . Максимум -- в точке касания сферы и плоскости , т.е. при .


а ответ какой в итоге?