2-ой дифференциал сложной функции векторного аргумента

[SleepWalker]

Задача из Демидовича, №3301.
${u = f(\xi, \eta, \zeta);}$
где
$\xi = x^2+y^2$
$\eta = x^2-y^2$
$\zeta = 2xy$

Требуется найти полные дифференциалы первого и второго порядков.
Дифференциал первого порядка я нашел.
Проблемы возникают со вторым.
Ответ таков:
$d^2u = 4{f}_{11}^{''}(xdx+ydy)^2 + 4{f}_{22}^{''}(xdx-ydy)^2 + 4{f}_{33}^{''}(ydx+xdy)^2 + 8{f}_{12}^{''}(x^2dx^2 - y^2dy^2) + 8{f}_{13}^{''}(xdx+ydy)(ydx+xdy) + 8{f}_{23}^{''}(xdx-ydy)(ydx+xdy) + 2{f}_{1}^{'}(dx^2+dy^2) + 2{f}_{2}^{'}(dx^2-dy^2) + 4{f}_{3}^{'}dxdy$

Мой вопрос: откуда взялись слагаемые, содержащие первую производную в ф-ии, т.е. последние три слагаемых $... + 2{f}_{1}^{'}(dx^2+dy^2) + 2{f}_{2}^{'}(dx^2-dy^2) + 4{f}_{3}^{'}dxdy$

Если я решаю, то все производные в ответе имеют второй порядок...

[Полосин]

Слагаемые взялись от дифференцирования произведения. Замена нелинейная, поэтому вторые дифференциалы кси, эта и зета не равны нулю. Посмотрите в учебнике.