Касательная плоскость, проходящая через заданную прямую

[EvilOrange]

У меня снова проблемы с касательной плоскостью.
Задача: К поверхности написать уравнение касательной плоскости, проходящей через заданную прямую.
Поверхность:$2x^2+5y^2+2z^2-2xy+6yz-4x-y-2z=0$
Прямая:$\frac{x}{5}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}$

Ход мыслей:
Нужно найти такую точку $M_0 (x_0;y_0;z_0)$ в которой касательная плоскость будет проходить через прямую.
Что-то мне подсказывает, чтобы найти эту точку надо составить систему трех уравнений. Условия для уравнений будут следующими:
1. Точка принадлежит самой поверхности
2. Точка принадлежит касательной плоскости
3. Касательная плоскость содержит в себе прямую.
Запишем уравнение касательной плоскости в общем виде для заданной поверхности:
$ (4x-2y-4)(x-x_0)+(10y-2x-1)(y-y_0)+(4z+6y-2)(z-z_0)=0$

Дальше, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
$\begin{cases} x=5t\\ y=t\\ z=1 \end{cases}$

Так как прямая должна содержаться в касательной плоскости, то если подставить эту параметризацию в уравнение касательной плоскости, то она все равно должна оставаться тождеством:
$(4*5t-2t-4)(t-x_0)+(10t-(5*2t)-1(t-y_0)+(4+6t-2)(1-z_0)=0$
Если упростить и раскрыть скобки, то получиться:
$18t^2-18tx_0+6tz_0-4x_0+y_0+2z_0+t+2=0$

Это одно уравнение, еще одно можно получить, подставив точку $M_0$ в уравнение поверхности. Но. Что делать с t? У меня единственная мысль - можно туда подставить любое число (единичку, например) , т.к. это тождество должно выполняться при любом t.
Но вот где взять еще одно уравнение?

[Алексей К.]

EvilOrange в сообщении #451958 писал(а):

Запишем уравнение касательной плоскости в общем виде для заданной поверхности:
$ (4x-2y-4)(x-x_0)+(10y-2x-1)(y-y_0)+(4z+6y-2)(z-z_0)=0$

Вас не смущает, что плоскость описалась уравнением второго порядка?

[ewert]

Вам фактически нужно найти точку касания. Для этой точки:

1) выполняется уравнение поверхности;
2) нормаль к поверхности (т.е. градиент левой части уравнения) параллельна нормали к плоскости.

Первое -- это квадратное уравнение; второе -- три линейных уравнения. Всего -- система из четырёх уравнений для четырёх неизвестных: координат точки и коэффициента пропорциональности между нормалями.

[EvilOrange]

хм... Смущает.
$ (4x_0-2y_0-4)(x-x_0)+(10y_0-2x_0-1)(y-y_0)+(4z_0+6y_0-2)(z-z_0)=0$
Вот так так должно быть =)

-- Пн май 30, 2011 15:16:00 --

ewert в сообщении #451962 писал(а):

2) нормаль к поверхности (т.е. градиент левой части уравнения) параллельна нормали к плоскости.

Так нормаль к поверхности всегда параллельна нормали к касательной плоскости? Они же совпадать должны?
И как из этого следует, что касательная плоскость проходит через прямую?

[EvilOrange]

Хм, нашел эту точку. Суть
1. Плоскость должна проходить через точку
(0;0;1) - эту точку берем из уравнения прямой
2. Нормаль к плоскости должна быть ортогональна направляющему вектору прямой, т.е. их скалярное произведение должно равняться нулю.
3. Поверхность так же должно проходить через эту точку.

Итого, три уравнения, три неизвестных, решаем, находим точку, подставляем в уравнение касательной плоскости, радуемся =)

[Алексей К.]

Совпадают или параллельны --- это одно и то же в данном случае. Вроде этот факт у нас в уравнении плоскости уже записан. Я, признаться, намёков ewertа пока не осознал; про ту прямую он ничего не сказал...

Давайте, что ли, попробуем загнать ту прямую на нашу плоскость, как Вы предлагали; посмотрим, что получается. Наверное, Вы это давно проделали?

-- 30 май 2011, 18:08 --

Я всё же отправил написанное, хотя Вы, похоже решили за это время.