Доказать, что линейный оператор ортогонален

[Anexroid]

Цитата:

Пусть $V$ - пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем $R$ с нулевым следом и $(A, B) = trAB, (A, B \in V)$
Доказать, что оператор, определенный правилом $X \mapsto AX^t\overline{A}, X\in V$ где $A$ - унитарная матрица, является ортогональным.

Известно, что $V$ - евклидово пространство с ортонормированным базисом
$e_1 = \frac {1}{\surd{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} e_2 = \frac {1}{\surd{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} e_3 = \frac {1}{\surd{2}} \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$

$\overline{A}$ - комплексно сопряженная матрица к $A$

Как это доказывать - вообще не представляю. Ну, насколько я понял, Матрица X имеет вид

$$ X = \begin{pmatrix} a & c + ik \\ c - ik & b\end{pmatrix}$$

Осталось только понять как такой оператор подействует на базис, составить матрицу этого оператора и проверить является ли он ортогональным. Ортогональный оператор некоторый ОНБ переводит в ОНБ. Проверим, будeт ли являться полученные $v' = Xv$ являться ОНБ и всё. А вот как это сделать - не понимаю.

Заранее спасибо всем откликнувшимся.

[ewert]

Anexroid в сообщении #451833 писал(а):

Ортогональный оператор некоторый ОНБ переводит в ОНБ.

Пока что утверждение выглядит бессмысленным: выходное пространство не совпадает со входным, и если для входа скалярное произведение задано, то для выхода -- нет.

[Anexroid]

Ну это вроде бы вообще свойство ортогонального оператора, или нет?

[ewert]

Anexroid в сообщении #452425 писал(а):

Ну это вроде бы вообще свойство ортогонального оператора, или нет?

Или нет. Чтобы вообще говорить об ортогональности оператора -- следует как минимум определить скалярное произведение и во входном пространстве, и в выходном. Во входном пространстве авторы задачки это честно сделали, в выходном же -- постеснялись, да хуже того: они даже не заметили, что то пространство требует отдельного описания. Следовательно -- постановка вопроса бессмысленна.

[Anexroid]

А если предположить, что выходное пространство тоже V?

[ewert]

Anexroid в сообщении #455936 писал(а):

А если предположить, что выходное пространство тоже V?

Невозможно: чёрточка подразумевает, что матрица $A$ крмплексна, а тогда и выходное пространство тоже состоит не из вещественных матриц.

[Anexroid]

Так V - пространство эрмитовых матриц, значит тоже - комплексно

[ewert]

Anexroid в сообщении #455986 писал(а):

Так V - пространство эрмитовых матриц, значит тоже - комплексно

Не значит. Над каким оно полем?...

[Anexroid]

Над полем действительных чисел... Но тогда "комплексно сопряженная" к нему - это просто транспонированная матрица $A$

А если просто доказать, что матрица оператора $M^{-1} = M^T$ ?