Функция нескольких переменных, производная по направлению

[phys]

Цитата:

Вычислить наибольшее значение производной функции по направлению в точке $M (1, \sqrt{3})$ и указать, в каком направлении $S_1$ она достигается.

Производная по направлению:

$F'_{\bar{n}}=grad(f) \cdot \bar{n}$

$ - \quad $ где $\bar{n}$ - единичный вектор.

Функция:

$f(x,y) = \frac {8x} {x^2 + y^2}$

Тогда для вектора $\bar{n} = (cos \alpha; cos \beta)$:

$F'_{\bar{n}} = 8 \frac {x^2 - y^2} {(x^2 + y^2)^2} cos \alpha - 16 \frac {xy} {(x^2 + y^2)^2} cos \beta$



Вопрос состоит в том - что от меня хотят? Рассматривать $F'_{\bar{n}}$ опять как ф-цию двух переменных и исследовать её на максимум с учетом двух параметров $\alpha$ и $\beta$? По моему это слишком сложно для того уровня задачи что мне необходимо сделать. В общем, прошу тех кто условие понял, растолковать.

[Алексей К.]

phys в сообщении #451637 писал(а):

Тогда для вектора $\bar{n} = (cos \alpha; cos \beta)$:

Нет: $\bar{n} = (\cos \alpha; \color{blue}\sin \color{magenta}\alpha\color{black})$.
Направление (на плоскости) задаётся одним-единственным параметром-углом.

-- 29 май 2011, 18:28 --

Зацените также, насколько мой косинус $\cos x$ красивше Вашего $cos x$.

-- 29 май 2011, 18:48 --

Понял, Вы действовали под влиянием понятия "направляющие косинусы". Возьмём тогда $\alpha=45^\circ$ и $\beta=60^\circ$. И что же это будет за направление, и будет ли Ваш векторочек "единичным"?

[ewert]

phys в сообщении #451637 писал(а):

Вопрос состоит в том - что от меня хотят?

От Вас хотят, чтоб Вы знали стандартное заклинание: "градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, и его модуль равен скорости этого возрастания". И если градиент Вы знаете -- то чего ещё нужно.

(тем более, раз уж Вы phys)

[arseniiv]

Даже не зная последнего, можно было бы расписать $\operatorname{grad} f \cdot \vec n$ как $\left| \operatorname{grad} f\right| \left| \vec n \right| \cos \varphi$, где $\varphi$ — угол между вектором направления и градиентом. Т. к. градиент для данной точки константен, а так же $\left| \vec n \right| = 1$, получим, что величина производной по направлению в данной точке зависит только от угла между ортом направления и градиентом. Наибольшее значение $\cos\varphi = 1$ принимает при $\varphi = 0$. Собственно, это и является доказательством того, что производная по направлению максимальна по направлению градиента и при этом равна его длине.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #451716 писал(а):

можно было бы расписать

можно было бы, но качественные свойства градиента -- все phys обязаны знать наизусть, пусть даже их только что с кровати подняли

[arseniiv]

(Оффтоп)

Написал, чтобы ему не надо было далеко тянуться сейчас.

[phys]

Покурил Демидовича, нашел ответ. Всем спасибо.

(Оффтоп)

Что то я седня уставший, то дифуры элементарные не идут, то ФНП...