Непрерывность решения

[Gortaur]

Есть компакт $S\subset \mathbb{R}^n$. Для функций $w_n,u$ выполнено:

$$ a_nw_n(x)\leq u(x)\leq w_n(x). $$

Верно ли, что если $a_n\to 1$ и $w_n(x)$ непрерывны на $S$, то $u$ тоже непрерывна?

[Полосин]

Легко видеть, что нет: $w_n(x)=n$, $a_n=1-1/n$.
P.S. Размерность пространства лучше обозначить другой буквой, например $m$.

[ewert]

Gortaur в сообщении #451530 писал(а):

Верно ли, что если $a_n\to 1$ и $w_n(x)$ непрерывны на $S$, то $u$ тоже непрерывна?

Верно. Функция $u$, будучи зажата между хотя бы двумя непрерывными функциями, ограничена. Тогда и все функции $w_n$ равномерно ограничены. Но тогда их последовательность сходится равномерно.

[Полосин]

Поторопился: $u$ не зависит от $n$. Однако, ewert, из непрерывности и равномерной ограниченности равномерная сходимость еще не следует: $w_n(x)=x^n$, $0\le x\le1$.

[Gortaur]

ewert, а что за связь между равномерной ограниченностью и равномерной сходимостью?

[ewert]

$|w_n(x)-u(x)|\leqslant|1-a_n|\cdot\sup\limits_{t,n}|w_n(t)|$