Непрерывная случайная величина

[Nogin Anton]

Доброго времени суток! :)

Дана функция плотности вероятности:

$f(x)=2(x+\frac{1}{2}) при x\in [0,1]$
$f(x)=2(2-x) при x\in [1,2]$
$f(x)=0 при x\notin [0,2]$

Нужно найти матожидание и дисперсию. Не уверен в своём ответе.
Получилось так:
Матожидание:
$M(x)=\int_0^1 2x(x+\frac12)dx + \int_1^2 2x(2-x)dx =$
$= 2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4}]|_0^1 +2[x^2 -\frac{x^3}{3}]|_1^2 =\frac{15}{6}$

Дисперсия:
D(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)dx -M^2(x)
D(x)=\int_0^1 2x^2(x+\frac{1}{2})dx +\int_1^2 2x^2(2-x)dx -\frac{256}{36}=-10.6

Может так быть, что дисперсия - величина отрицательная?
Заранее большое спасибо!

[oveka]

Матожидание правильно. Дисперсия положительна.
Надо проверить.
Подынтегральные функции +, откуда отрицательное?

[alisa-lebovski]

Потому что это НЕ функция плотности вероятности.
Интеграл от нее больше единицы.

[Nogin Anton]

спасибо! нашёл ошибку)

А как тут найти моду? Есть подозрение, что её вообще нет. Но я не уверен...

[alisa-lebovski]

Мода - это просто точка максимума плотности.

[Nogin Anton]

а если функция плотности имеет разрыв?

[alisa-lebovski]

Если в точке разрыва правосторонний или левосторонний предел дает максимум, тогда это мода.

[Nogin Anton]

Ещё вопрос по медиане. Попытался графически определить через какую функцию она проходит..
Вычислил площади под функциями $f_1(x)=\frac{2}{3}(x+\frac12)$] ($x\in [0,1]$) и $f_2(x)=\frac23 (2-x)$ ($x\in [1,2]$)
$S_{f_1}=\frac23$
$S_{f_2}=\frac13$

Так как первая площадь больше, то для нахождения медианы взял такой интеграл:

$M_c=\int_0^{M_c} \frac23 (x+\frac12)dx =\frac12$

Получил квадратное уравнение и соответственно два корня: $x_1<0$ (его отбросил сразу) и $x_2 =1.06$
Получается, что медиана проходит через точку (1.06; 0). Но! Через в x=1 - функция разрывается. этот разрыв делит её на две части. и точка (1.06; 0) лежит уже под второй функцией, что противоречит изначальному предположению..)

[alisa-lebovski]

Либо неправильно составили квадратное уравнение, либо неправильно решили.
Все получается.

[Nogin Anton]

Всё получилось)
Ещё вопрос. Нужно найти вероятность того, что случ. непрерывная величина попадёт в интервал $\frac32 \le x < 3$

Достаточно будет взять такой интеграл?

$P=\int_{\frac32}^2 \frac32 (2-x)dx$

[alisa-lebovski]

Да.

[oveka]

Всё же о моде. У нас разрыв 3 и 2.
Оно и мода, и не мода.
А если мода, то какая? 2,5?
В определение не влазит.

[alisa-lebovski]

Мода - не значение плотности в точке, а сама точка.

[oveka]

Принято.